Integrale di superficie e superfici in R^3
ho qualche dubbio teorico su alcune cose, l'altra volta a lezione abbiamo trattato gli integrali di superficie. Dati $ Sigma in R^3, phi:T rarr R^3, T sub R^2, phiinC(T;R^3) | Sigma=phi(T)$ la coppia (Sigma,phi) è detta superficie in $ R^3$. Questa è regolare se (I) la funzione $phi$ è iniettiva e suriettiva (II) lo $ Jacphi( t_1,t_2)=2, t_1,t_2in T $ (max). L'area di quella superficie si può calcolare risolvendo quest'integrale: $ int int_(T) f(phi(t_1,t_2))|| (partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2)|| dt_1 dt_2 $.
Il prof ci ha detto che se la superficie è scritta come curva di livello (in forma esplicita) $Sigma={(x,y,z)inR^3|f(x,y,z)=0} $ è difficile risalire ad una parametrizzazione, ma la si può evitare utilizzando il gradiente (ammesso che sia diverso da zero). Non ho capito bene la sua spiegazione quindi ho cercato di darmela da sola: suppongo perchè il gradiente individua il vettore ortonormale alla superficie in un punto, quindi lo spazio tangente alla superficie in quel punto non sarà altro che l'insieme di tutti i vettori perpendicolari al vettore gradiente in quel punto. Ossia $T_(SigmaP)={(h_1,h_2,h_3)in R^3|=0 } $. Ammesso che la mia conclusione sia corretta non capisco operativamente come giungere all'integrale di superficie, se magari qualcuno sarebbe così gentile da farmi un esempio 
Poi il professore ha parlato di orientazione della superficie, che da quello che ho capito è il vettore $omega$ ortogonale alla superficie in un punto, ossia il vettore che si ottiene da questo prodotto vettoriale $|| (partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2)|| $ con $(t_1,t_2) $ segnati. Inoltre mi sembra di aver capito che ogni parametrizzazione porti con se un'orientazione( perchè definita su un intervallo ordinato ) data da $ ((partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2))/ (|| (partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2)||) $ che sarà compatibile se $ omega(phi(t_1,t_2))=((partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2))/ (|| (partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2)||) $. Non mi è chiaro però come determinare se il vettore è entrante o uscente dalla superficie...
Poi ha spiegato il Th di Stokes scrivendo che $ F:A rarr R^3, AsubR^3, A $ aperto $, FinC(A,R^3) $ allora $ int int_(Sigma) dsigma = int_(partialSigma ) ds $ affermando che nell'integrale di superficie non possiamo determinare se $omega$ è entrante o uscente perchè è "relativo" e perchè "l'insieme è pieno". Mentre nel Th di Gauss scrive che $ Fin C^1(A,R^3), A $ aperto, limitato tale che $partial(A)$ regolare, allora $int int int_(A) nablaF dx dy dz = int int_(partial(A)) dsigma $ dove qui l'orientazione è uscente e "si può stabilire perchè l'insieme è pieno" . Qualcuno riesce a spiegarmi cosa voleva dire?
Il prof ci ha detto che se la superficie è scritta come curva di livello (in forma esplicita) $Sigma={(x,y,z)inR^3|f(x,y,z)=0} $ è difficile risalire ad una parametrizzazione, ma la si può evitare utilizzando il gradiente (ammesso che sia diverso da zero). Non ho capito bene la sua spiegazione quindi ho cercato di darmela da sola: suppongo perchè il gradiente individua il vettore ortonormale alla superficie in un punto, quindi lo spazio tangente alla superficie in quel punto non sarà altro che l'insieme di tutti i vettori perpendicolari al vettore gradiente in quel punto. Ossia $T_(SigmaP)={(h_1,h_2,h_3)in R^3|
Poi il professore ha parlato di orientazione della superficie, che da quello che ho capito è il vettore $omega$ ortogonale alla superficie in un punto, ossia il vettore che si ottiene da questo prodotto vettoriale $|| (partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2)|| $ con $(t_1,t_2) $ segnati. Inoltre mi sembra di aver capito che ogni parametrizzazione porti con se un'orientazione( perchè definita su un intervallo ordinato ) data da $ ((partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2))/ (|| (partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2)||) $ che sarà compatibile se $ omega(phi(t_1,t_2))=((partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2))/ (|| (partial phi)/(partial t_1)(t_1,t_2)^^ (partial phi)/(partial t_2)(t_1,t_2)||) $. Non mi è chiaro però come determinare se il vettore è entrante o uscente dalla superficie...
Poi ha spiegato il Th di Stokes scrivendo che $ F:A rarr R^3, AsubR^3, A $ aperto $, FinC(A,R^3) $ allora $ int int_(Sigma)
Risposte
"cechuz":
[...] Ammesso che la mia conclusione sia corretta non capisco operativamente come giungere all'integrale di superficie [...]
La tua conclusione e' corretta, ma operativamente potrebbe essere difficile calcolare un integrale di superficie dove la superficie e' descritta da un luogo di zeri. Quando scrivi \( f(\phi(t_1,t_2)) \) stai restringendo la funzione alla superficie, potrebbe essere impossibile farlo esplicitamente quando si ha \( G(x,y,z)=0 \) e nessuna delle tre variabili e' esplicitabile come funzione delle altre due.
"cechuz":
[...] Non mi è chiaro però come determinare se il vettore è entrante o uscente dalla superficie...
Devi controllare il determinante della matrice \[ \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi }{\partial t_1} \wedge \frac{\partial \phi }{\partial t_2} & \frac{\partial \phi }{\partial t_1} & \frac{\partial \phi }{\partial t_2} \end{pmatrix}. \]
Quanto all'integrale di superficie, esistono formule per esprimere \(\|\partial_{t_1}\phi \wedge \partial_{t_2} \phi \|\, dt_1dt_2\) (noto come "elemento di superficie") per superfici date in forma implicita. Per esempio, se la superficie è data dall'equazione \(z=f(x, y)\), allora l'elemento di superficie è dato da
\[
\sqrt{1+(\partial_x f)^2 + (\partial_y f)^2}\, dxdy.\]
\[
\sqrt{1+(\partial_x f)^2 + (\partial_y f)^2}\, dxdy.\]
"dissonance":
[...] Per esempio, se la superficie è data dall'equazione \(z=f(x, y)\), [...]
Di fatto questo e' un caso particolare di parametrizzazione.
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