Integrale di superficie e delta di Dirac
Buonasera,
nello svolgere un esercizio di fisica mi sono imbattuto in un integrale che si risolve banalmente facendo delle osservazioni ma che mi dà qualche problema se voglio seguire tutti i passaggi "rigorosamente".
Il problema dice che c'è una superficie metallica conica con angolo di semi-apertura $\theta_0$ su cui scorre una densità di corrente superficiale costante $\vec{J}_s$. Supponendo che l'asse del cono coincida con l'asse z e che il vertice del cono sia nell'origine, usando le coordinate sferiche la densità di corrente è radiale.
Mi si chiede di calcolare la corrente attraverso una qualsiasi calotta sferica che interseca il cono.
Svolgimento intuitivo
$I=\int int \vec{J}_s \cdot \hat{\vec{n}} dS=\int int J_s dS$
Poiché la corrente è superficiale, l'integrale di superficie si riduce ad un integrale di linea lungo la circonferenza di raggio $r\sin \theta_0$ e quindi ho semplicemente $I= 2\pi r \sin \theta_0 J_s$. Questa è al soluzione corretta.
Svolgimento rigoroso
Innanzitutto osservo che $\vec{J_s}= J_s \delta(\theta - \theta_0) \vec{\hat{r}}$.
$\int int \vec{J}_s \cdot \hat{\vec{n}} dS=\int int J_s \delta(\theta - \theta_0) dS$
Ora devo esprimere il dS in coordinate sferiche: $dS= (rd\theta) (r\sin \theta d\phi)$.
Applicando le proprietà della delta di Dirac,
ottengo
$I= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} J_s \delta(\theta - \theta_0) r^2 \sin \theta d\phi= \int_0^{2\pi} J_s r^2 \sin \theta_0 d\phi= 2\pi r^2 \sin \theta_0 J_s$.
C'è un r di troppo! Come mai?
nello svolgere un esercizio di fisica mi sono imbattuto in un integrale che si risolve banalmente facendo delle osservazioni ma che mi dà qualche problema se voglio seguire tutti i passaggi "rigorosamente".
Il problema dice che c'è una superficie metallica conica con angolo di semi-apertura $\theta_0$ su cui scorre una densità di corrente superficiale costante $\vec{J}_s$. Supponendo che l'asse del cono coincida con l'asse z e che il vertice del cono sia nell'origine, usando le coordinate sferiche la densità di corrente è radiale.
Mi si chiede di calcolare la corrente attraverso una qualsiasi calotta sferica che interseca il cono.
Svolgimento intuitivo
$I=\int int \vec{J}_s \cdot \hat{\vec{n}} dS=\int int J_s dS$
Poiché la corrente è superficiale, l'integrale di superficie si riduce ad un integrale di linea lungo la circonferenza di raggio $r\sin \theta_0$ e quindi ho semplicemente $I= 2\pi r \sin \theta_0 J_s$. Questa è al soluzione corretta.
Svolgimento rigoroso
Innanzitutto osservo che $\vec{J_s}= J_s \delta(\theta - \theta_0) \vec{\hat{r}}$.
$\int int \vec{J}_s \cdot \hat{\vec{n}} dS=\int int J_s \delta(\theta - \theta_0) dS$
Ora devo esprimere il dS in coordinate sferiche: $dS= (rd\theta) (r\sin \theta d\phi)$.
Applicando le proprietà della delta di Dirac,
ottengo
$I= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} J_s \delta(\theta - \theta_0) r^2 \sin \theta d\phi= \int_0^{2\pi} J_s r^2 \sin \theta_0 d\phi= 2\pi r^2 \sin \theta_0 J_s$.
C'è un r di troppo! Come mai?
Risposte
Coordinate cilindriche, mi pare, non sferiche.
"gugo82":
Coordinate cilindriche, mi pare, non sferiche.
Ma la densità di corrente è radiale. Qui ho trovato un disegno che rende l'idea. https://books.google.it/books?id=zIuiupZBcqkC&pg=SL1-PA2&lpg=SL1-PA2&dq=biconical+antenna+cep&source=bl&ots=TmFr2KYOF6&sig=ACfU3U3Iyg8-JFhQku1wfT5rsZG5ZmYDyQ&hl=it&sa=X&ved=2ahUKEwik7YD-xezkAhWFsKQKHf6GCUEQ6AEwD3oECAgQAQ#v=onepage&q=biconical%20antenna%20cep&f=false
Una funzione costante ha qualsiasi tipo di simmetria, o sbaglio?
"gugo82":
Una funzione costante ha qualsiasi tipo di simmetria, o sbaglio?
Sì è vero, ma questo è un vettore diretto radialmente. Se cambiassi la superficie di integrazione (da sferica a cilindrica) cambierebbe anche il risultato del prodotto scalare.
Inoltre, se pure convenisse usare le coordinate cilindriche, dov'è l'errore nel mio procedimento? Mi pare di aver correttamente espresso tutto in coordinate sferiche.
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