Integrale di superficie di prima specie

[alessandro.russo.904750]

Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria biomedica e vorrei aiuto riguardo ad un integrale di superficie che mi è stato assegnato: ho un cono di equazione x^2=y^2+z^2, che interseca il cilindro di centro origine e raggio 1, x^2+y^2=1, con le limitazioni z>0, 0

Cita

Segnala

---

Risposte

Quinzio

29 nov 2012, 19:04

Devi fare attenzione perchè non puoi far variare $v$ da 0 a 1.
Se mi metto sul piano $z=0$ e vado a $v=1$ cioè $x=1$, dall'equazione del cono ottengo $y=1$. Ma $x^2+y^2 = 2 >1$ cioè è fuori dal cilindro.

Cita

Segnala

---

alessandro.russo.904750

29 nov 2012, 19:59

"TeM":Credo tu debba calcolare l'integrale superficiale \(\int_{\Sigma}d\sigma\) dove \(\Sigma\) è la porzione di cono di equazione \(x^2=y^2+z^2\), racchiusa dentro al cilindro \(\{(x,\;y,\;z)\in\mathbb{R^3} : x^2+y^2\le 1\}\), situata nel semispazio \(\{z \ge 0\}\) e sottoposta
all'ulteriore vincolo dato da \(\{0\le y \le x\}\).

Se così fosse innanzitutto occhio al linguaggio perché l'intersezione tra due superfici reali non disgiunte dà luogo a delle curve e non a delle superfici come vogliamo in questo caso dato che si parla di integrali superficiali. Puntualizzato ciò la parametrizzazione adottata per il cono è ok così come il modulo della normale a \(\Sigma\). D'altro canto hai pasticciato nelle restrizioni su \(u\) e \(v\): per determinarle correttamente devi tenere conto di tutti e tre i vincoli, il primo ti darà informazioni su \(v\) mentre gli altri due ti definiranno \(u\). Tenuto conto di tutto ciò vedrai che l'area di \(\Sigma\) risulterà proprio \(\frac{\pi}{4}\) come indicato correttamente dal tuo esercizio.

giustissimo, scusate la scorretta terminologia, e grazie del consiglio!

Cita

Segnala

---

alessandro.russo.904750

29 nov 2012, 21:04

Vi chiedo ancora una cosa che mi è venuta in mente guardando il grafico ora; l'intervallo di variazione di v effettivamente prima non aveva senso, poichè questo parametro in una parametrizzazione di cono determina la variazione del raggio delle circonferenze alla base del cono; quindi la v deve "iniziare" nel punto in cui il cono entra nel cilindro, quindi in corrispondendza di radice(2)/2, o sbaglio?

Cita

Segnala

---

alessandro.russo.904750

29 nov 2012, 23:27

Io nei relativamente pochi integrali fatti finora invece ho sempre ragionato in maniera piu grafica che algebrica, perchè in genere avevo superfici abbastanza "nette" da tagliare e parametrizzare, qui il caso è diverso, perchè abbiamo una superficie conica la cui interazione con il cilindro la rende una cosa non molto "classica" comunque grazie per l'immagine, prima ho ottenuto parametri simili ma mi sembrava che venisse una cosa difficile da integrare e ho lasciato perdere, ora riprovo!

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Quinzio]

Devi fare attenzione perchè non puoi far variare $v$ da 0 a 1.
Se mi metto sul piano $z=0$ e vado a $v=1$ cioè $x=1$, dall'equazione del cono ottengo $y=1$. Ma $x^2+y^2 = 2 >1$ cioè è fuori dal cilindro.

[alessandro.russo.904750]

"TeM":Credo tu debba calcolare l'integrale superficiale \(\int_{\Sigma}d\sigma\) dove \(\Sigma\) è la porzione di cono di equazione \(x^2=y^2+z^2\), racchiusa dentro al cilindro \(\{(x,\;y,\;z)\in\mathbb{R^3} : x^2+y^2\le 1\}\), situata nel semispazio \(\{z \ge 0\}\) e sottoposta
all'ulteriore vincolo dato da \(\{0\le y \le x\}\).

Se così fosse innanzitutto occhio al linguaggio perché l'intersezione tra due superfici reali non disgiunte dà luogo a delle curve e non a delle superfici come vogliamo in questo caso dato che si parla di integrali superficiali. Puntualizzato ciò la parametrizzazione adottata per il cono è ok così come il modulo della normale a \(\Sigma\). D'altro canto hai pasticciato nelle restrizioni su \(u\) e \(v\): per determinarle correttamente devi tenere conto di tutti e tre i vincoli, il primo ti darà informazioni su \(v\) mentre gli altri due ti definiranno \(u\). Tenuto conto di tutto ciò vedrai che l'area di \(\Sigma\) risulterà proprio \(\frac{\pi}{4}\) come indicato correttamente dal tuo esercizio.

giustissimo, scusate la scorretta terminologia, e grazie del consiglio!

[alessandro.russo.904750]

Vi chiedo ancora una cosa che mi è venuta in mente guardando il grafico ora; l'intervallo di variazione di v effettivamente prima non aveva senso, poichè questo parametro in una parametrizzazione di cono determina la variazione del raggio delle circonferenze alla base del cono; quindi la v deve "iniziare" nel punto in cui il cono entra nel cilindro, quindi in corrispondendza di radice(2)/2, o sbaglio?

[alessandro.russo.904750]

Io nei relativamente pochi integrali fatti finora invece ho sempre ragionato in maniera piu grafica che algebrica, perchè in genere avevo superfici abbastanza "nette" da tagliare e parametrizzare, qui il caso è diverso, perchè abbiamo una superficie conica la cui interazione con il cilindro la rende una cosa non molto "classica" comunque grazie per l'immagine, prima ho ottenuto parametri simili ma mi sembrava che venisse una cosa difficile da integrare e ho lasciato perdere, ora riprovo!