Integrale di superficie

[Gost91]

Buona sera a tutti!

Stasera volevo provare a risolvere il seguente esercizio:
"Esprimere in formule $intint_\Sigmaxyzd\sigma$ dove $\Sigma$ è la superficie dell'elissoide $x^2+y^2+z^2/3=1$"
Ora io non so cosa voglia dire "esprimere in formule", ma credo significhi "impostare l'integrale".

Quindi, supponendo giusta la mia interpretazione del problema, dovrei esprimere esplicitamente
$intint_\Sigmaxyz|\phi_u\times\phi_v|dudv$, dove $\phi_u$ e $\phi_v$ sono i vettori tangenti alla superficie $\Sigma$.


Cerco una parametrizzazione che descriva $\Sigma$.
Dalla parametrizzazione generale per elissoidi $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$

${(x=acosusinv),(y=bsinusinv),(z=c(cosu)):}$ con $(u,v)\in[0,pi]\times[0,2pi]$

Ottengo quella che fa al caso mio:

${(x=cosusinv),(y=sinusinv),(z=sqrt(3)cosu):}$ con $(u,v)\in[0,pi]\times[0,2pi]$

Procedo al calcolo dei vettori tangenti.
Chiamata $\gamma(u,v)$ la parametrizzazione precedente, ho che:

$\phi_u=(\partial\gamma(u,v))/(\partialu)$ e $\phi_v=(\partial\gamma(u,v))/(\partialv)$

(E' corretta la precedente notazione?)

Quindi se i miei calcoli non sono errati dovrei avere che:

$\phi_u=[[-sinusinv],[cosusinv],[-sqrt(3)sinu]]$ e $\phi_v=[[cosucosv],[sinucosv],[0]]$

Adesso mi calcolo $\phi_u\times\phi_v$:

$\phi_u\times\phi_v=|(\veci,\vecj,\veck),(-sinusinv,cosusinv,-sqrt(3)sinu),(cosucosv,sinucosv,0)|=$

$(sqrt(3)sin^2ucosv)\veci+(-sqrt(3)sinucosucosv)\vecj+(-sin^2usinvcosv-cos^2usinvcosv)\veck=$

$(sqrt(3)sin^2ucosv)\veci+(-sqrt(3)sinucosucosv)\vecj+[-sinvcosv(sin^2u+cos^2u)]\veck=$

$(sqrt(3)sin^2ucosv)\veci+(-sqrt(3)sinucosucosv)\vecj+(-sinvcosv)\veck$

Supponendo che i calcoli siano coretti, e allo stesso tempo dubitando fortemente che non lo siano , procedo calcolando il modulo di tale vettore:

$|\phi_u\times\phi_v|=sqrt((sqrt(3)sin^2ucosv)^2+(-sqrt(3)sinucosucosv)^2+(-sinvcosv)^2)=$

$sqrt(3sin^4ucos^2v+3sin^2ucos^2ucos^2v+sin^2vcos^2v)=$

$sqrt(3sin^2ucos^2v(sin^2u+cos^2u)+sin^2vcos^2v)=$

$sqrt(3sin^2ucos^2v+sin^2vcos^2v)=$

$sqrt(cos^2v(3sin^2u+sin^2v))=$

$cosvsqrt(3sin^2u+sin^2v)$ (non sono per niente sicuro che vada bene quest'ultimo passaggio)

Quindi ora avrei tutti gli ingredienti per impostare l'integrale iniziale e concludere:

$intint_\Sigmaxyzd\sigma=intint_\Sigmaxyz|\phi_u\times\phi_v|dudv=$

$\int_0^(2pi)\int_0^pi cosusinvsinusinvsqrt(3)cosucosvsqrt(3sin^2u+sin^2v)dudv=$

$sqrt(3)\int_0^(2pi)\int_0^pi sinucos^2usin^2vcosvsqrt(3sin^2u+sin^2v) dudv$


Ora le domande principali che avrei sono sostanzialmente 2:
a) Ho realmente eseguito quello che era richiesto dal problema?
(cioè, ho interpretato bene il senso del problema)
b) Nel caso in cui abbia inteso correttamente l'esercizio, esiste qualche particolare "scorciatoia" per arrivare alla soluzione oppure devo fare tutte le volte 'sto ambaran di roba?

Ah, ovviamente è sottointesa la domanda "Ho svolto correttamente tutti calcoli?"
Grazie in anticipo a tutti!

[Quinzio]

Ci sono 2 errori nella parametrizzazione. Devi ricontrollare.

[Gost91]

Quinzio non riesco a proprio a vederli questi 2 errori!
Ma è sbagliata la parametrizzazione generalizzata od ho sbagliato ad a riportarla al caso mio?
Comunque, a parte gli errori computazionali, "esprimere in formule" equivale a dire "impostare l'integrale"?

[Quinzio]

Volevo dire solo questo
Tua versione
${(x=acosusinv),(y=bsinusinv),(z=c(cosu)):}$ con $(u,v)\in[0,pi]\times[0,2pi]$

Ho messo a posto due cose:
${(x=a\ \cos u\ \sin v),(y=b\ \sin u\ \sin v),(z=c(\cos v)):}$ con $u\in[0,2pi], v\ in [0,pi]$

[Gost91]

Ma non sono 2 parametrizzazioni equivalenti?

[ciampax]

No Gost, stai attento: il problema sta in quale angolo hai definito come "deviazione" rispetto all'asse $z$ e come definisci, a quel punto, la coordinata $z$ e la sua proiezione nel piano $xOy$. Tu hai definito $z$ in termini dell'angolo sul piano $xOy$, cosa che non ha senso!

[Gost91]

Avete pienamente ragione, sono appena andato a ricontrollare sul testo quali angoli rappresentano $u$ e $v$ e mi sono reso conto che effettivamente ho combinato un bel casino...
Durante i corsi mi ero appuntato male la parametrizzazione della sfera e, ieri sera, ricopiandola pari pari ci sono cascato come fava...
Questo dimostra che andare a pappagallo in una materia come questa è un po' come giocare alla roulette russa!
Sarà meglio che ridia un'occhiata a tutti gli appunti che ho preso...

@Quinzio: non avevo notato che avevi scritto $z=c(cosv)$, credevo che i 2 errori fossero solamente i domini invertiti.

[Quinzio]

@Quinzio: non avevo notato che avevi scritto $z=c(cosv)$, credevo che i 2 errori fossero solamente i domini invertiti.

Ahi, ci avevo pensato, poi mi sono detto "lo vedra di sicuro".....

[Gost91]

Magari!
Purtroppo sono una persona estremamente distratta ed è per questo che mi appello a questo forum per la verifica dei miei esercizi!

La tua risposta l'avrò letta 500 volte ma, siccome ero convinto che la parametrizzazione che ho usato andasse bene, il mio cervellino avariato "proiettava" letteralmente una $u$ al posto della $v$, impedendomi di vedere l'errore...

Comunque grazie a entrambi sia per la disponibiltà che per la pazienza!