Integrale di superficie

[sba1]

salve a tutti,
ho difficiltà a calcolarea l'area definita dalla seguente condizione:
x^2+y^2= 1
0<=z<=x^2+2y^2+2



grazie

sb

[Sk_Anonymous]

Conviene passare a coordinate cilindriche .In tal modo l'elemento d'arco della circonferenza di base è $rdphi=1*dphi$ e quindi l'elemento d'area dS della superficie (laterale) del cilindroide sarà $dS=zdphi$.
L'area totale è allora :
$S=int_0^(2pi)(3+sin^2 phi)dphi=int_0^(2pi)(7/2-1/2cos2phi)dphi=|7/2phi-1/4sin2phi|_0^(2pi)=7pi$
Ciao

[sba1]

grazie, il passaggio che non come ottenere l'elemento d'area : dalla teoria so che l'elemento d'area è l'integrale doppio della radice quadrata della somma dei quadrati dei tre determinandi di ordine 2 dello jacobiano.
In questo caso come l'hai applicato?

grazie

ciao

[Sk_Anonymous]

Veramente io ho semplificato il procedimento osservando che l'elemento d'area in questo caso si può ottenere come prodotto tra l'elemento d'arco della circonferenza di base (dato da $r*dphi=1*dphi$) e l'altezza z e poi integrando.Se invece vuoi il procedimento classico puoi fare come segue.
Le equazioni della superficie ,in coordinate cilindriche $(r,theta,z)$ , sono date da :
${(x=cos theta),(y=sin theta),(z=z):}$ nel dominio $ D: (theta,z) in [0,2pi]x[0,3+sin^2theta]$
La matrice jacobiana è allora:
$(del(x,y,z))/(del(theta,z))=((-sintheta,costheta,0),(0,0,1))$
E' facile verificare che la somma dei quadrati dei determinanti dei minori di 2° ordine estratti da tale matrice è uguale ad 1.Pertanto l'area S della superficie è:
$S=int int _D sqrt1 d theta dz=int_0^(2pi)d theta int_0^(3+sin^2theta)dz=int_0^(2pi)(3+sin^2theta)d theta=|7/2theta-1/4sin2 theta|_0^(2pi)=7pi$
Ciao