Integrale di superficie

[ciaomammalolmao]

Trovare area del bordo di $E={(x,y,z)inR^3|4x^2+y^2+z^2>=y+1, \quad 0<=y<=2-2sqrt(4x^2+z^2)}$
Ho impostato l’esercizio che ovviamente richiede di calcolare l’integrale di superficie di 1 sul bordo di E. Come posso parametrizzare la superficie? Ho capito che corrisponde alla superficie laterale di un cono con asse coincidente all’asse y unita alla superficie di una parte di ellissoide ottenuta intersecando l’ellissoide con il cono. Quindi ho diviso l’integrale in due parti. Sono partito calcolando la superficie laterale ma già qui ho trovato difficoltà a parametrizzare la superficie, ho provato in questo modo
$\phi(u,v)=(4cosu, v, sinu ) $ che non sono convinto sia giusta, ho trovato il vettore normale alla superficie e ne ho fatto il modulo che viene $sqrt(cos^2u+16sin^2u)$ ho riscritto tutto nell’integrale, il dominio di integrazione verrebbe ${uin[0,2\pi], \quad 0<=v<=2-2sqrt(16cos^2u+sin^2u)}$. Mi sono reso conto che l’integrale finale in questo modo viene abbastanza complicato e mi sono arreso. Già se qualcuno mi spiegasse come parametrizzare la prima superficie ve ne sarei grato.

[sellacollesella]

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[ciaomammalolmao]

Ti ringrazio per la risposta, sì mi sono reso conto di averla completamente sbagliata :/ . Ho controllato il testo dell’esercizio e l’ho riportato correttamente. Inoltre non ci sono soluzioni, solamente il testo, fornito dai miei professori.

[sellacollesella]

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[Lebesgue]

Spoiler: se chiedi ai docenti come si dovrebbe fare questo esercizio, non sanno fartelo (provato sulla mia pelle)
La grande competenza dei docenti universitari di unifi...

[ciaomammalolmao]

"sellacollesella":Ok, allora ce lo facciamo andar bene, perlomeno cerchiamo di arrivare all'impostazione dei due integrali e poi li lasceremo marcire in un angolino del tuo quaderno. Circa la parametrizzazione di \(S_1\) comincerei ponendo \(x=\frac{u}{2}\cos(v)\) e \(z=u\sin(v)\), da cui \(y=\dots\). Forza, prova ad andare un po' avanti che poi ne discutiamo.

Quindi $y=2-2sqrt(4(\frac{u}{2}cosv)^2+(usinv)^2)$? Non ho capito però cosa rappresenta u in questo caso. Grazie mille

[Noodles1]

@ ciaomammalolmao

Trascurando la curva:

$\{(4x^2+z^2=1),(y= 0):}$

se operi la trasformazione:

$\{(barx=2x),(bary=y),(barz=z):}$

puoi concludere calcolando l'area della superficie laterale di un cono:

$[r=1/5] ^^ [h=2/5] ^^ [A=\pirsqrt(r^2+h^2)]$

e l'area della superficie di una calotta sferica:

$[r=sqrt5/2] ^^ [h=(5sqrt5-11)/10] ^^ [A=2\pirh]$

[sellacollesella]

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[ciaomammalolmao]

"sellacollesella":[quote="ciaomammalolmao"]Quindi $ y=2-2sqrt(4(\frac{u}{2}cosv)^2+(usinv)^2) $?

Se ti riferisci ad \(S_2\), sì. Quindi, semplifica...

"ciaomammalolmao":Non ho capito però cosa rappresenta u.

Per parametrizzare la regione di piano \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\) si è soliti porre \(x=a\,u\cos(v)\), \(y=b\,u\sin(v)\),
dove \(0\le u\le 1\) spazzola la regione radialmente, \(0\le v<2\pi\) spazzola la regione circolarmente.[/quote]
si prima ero di fretta e non mi sono reso conto che potevo semplificare l’argomento della radice. Quindi in pratica parametrizzo l’ellisse alla “base” del cono con x e z e z=y poi faccio scorrere l’angolo V e u.Ho capito bene? L’unica cosa non capisco , se spazzo u radialmente non considererei anche i punti interni al cono? Grazie mille

[sellacollesella]

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[ciaomammalolmao]

Penso di aver capito, poi se l’integrale non si può risolvere analiticamente pace. Grazie veramente per la pazienza