Integrale di Superficie

[Dr.Hermann]

Salve a tutti!

Devo calcolare quest'integrale di superficie:

\[ \iint_{\Sigma} x^2 + y^2\, dA \]

esteso alla superficie:

\[ \Sigma : x^2+y^2+z^2= a^2 \\\ z\geq 0\ e \\a>0 \]
Io pensavo di usare le coordinate sferiche e ho:

\[ 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} ; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} ; 0 \leq \rho \leq a \]

Ora il dA, come lo calcolo? Potresti darmi una mano? Grazie!!

[pilloeffe]

Ciao Dr.Hermann,

"Dr.Hermann":Ora il dA, come lo calcolo?

Beh, sempre nello stesso modo:

$ \text{d}A = \sqrt{1 + ||\nabla g(x, y) ||^2} \text{d}x \text{d}y $

ove $z = g(x,y) = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} $ e si è scelto il segno $+$ davanti alla radice perché $z >= 0 $
Pertanto si ha:

$\int \int_{\Sigma} (x^2 + y^2) \text{d}A = a \int \int_D (x^2 + y^2)/\sqrt{a^2 - (x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y $

ove $D := {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 <= a^2} $

A questo punto passando alle coordinate polari si ha:

$\int \int_{\Sigma} (x^2 + y^2) \text{d}A = a \int \int_D (x^2 + y^2)/\sqrt{a^2 - (x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y = a \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^a \rho^3/sqrt{a^2 - \rho^2} \text{d}\rho = $
$ = 2\pi a \int_0^a \rho^3/sqrt{a^2 - \rho^2} \text{d}\rho = ... = (4\pi)/3 a^4 $

[Dr.Hermann]

Allora avevo completamente sbagliato l'impostazione. Ti ringrazio nuovamente pilloeffe!!