Integrale di superficie
Ciao a tutti,
la mia prof di Analisi 2 negli esami mette quasi sempre questa tipologia di esercizio. Il problema è che degli integrali di superficie ha accennato solo la definizione di superficie regolare senza fare alcun esempio.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si procede?
Chiede:
calcolare l'area della superficie semplice regolare che ha per sostegno l'intersezione degli insiemi
$ {(x,y,z):x^2+y^2+z^2=9; z>=0} {(x,y,z): x^2+y^2<=3} $
la mia prof di Analisi 2 negli esami mette quasi sempre questa tipologia di esercizio. Il problema è che degli integrali di superficie ha accennato solo la definizione di superficie regolare senza fare alcun esempio.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si procede?
Chiede:
calcolare l'area della superficie semplice regolare che ha per sostegno l'intersezione degli insiemi
$ {(x,y,z):x^2+y^2+z^2=9; z>=0} {(x,y,z): x^2+y^2<=3} $
Risposte
Gli esempi sul libro di teoria che dicono?
L'eserciziario cosa dice?
L'eserciziario cosa dice?
La prof non ha dato nè un eserciziario nè un libro di teoria... fa tutto dalle sue dispense
il tutor ha fatto esercizi parallelamente alla prof ma non su questo argomento.
Alla mia richiesta di aiuto il prof neanche mi ha risposto..fantastico
il tutor ha fatto esercizi parallelamente alla prof ma non su questo argomento.
Alla mia richiesta di aiuto il prof neanche mi ha risposto..fantastico
Ciao Filo97,
Benvenuto/a sul forum!
In realtà si tratta abbastanza di un classico...
Hai provato a fare un disegno per renderti conto della situazione?
$x^2 + y^2 + z^2 = 9 = 3^2 $ è l'equazione di una sfera di raggio $R = 3 $; siccome poi specifica che $z >= 0 $, allora basta considerare la semisfera $0 <= z = f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2} $
$x^2 + y^2 <= 3 = (\sqrt 3)^2 $ invece in 3D è un cilindro di raggio $r = \sqrt 3 $, quindi la superficie richiesta è quella della semisfera $ z = f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2} $ che si trova all'interno del cilindro di equazione $ x^2 + y^2 = 3 $, che è data da
$ S = \int\int_D \sqrt{1 + ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2} \text{d}x \text{d}y $
ove $ z = f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2} $ e $D = {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 <= 3} $
Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente, ma se serve altro aiuto siamo qui...
Benvenuto/a sul forum!
In realtà si tratta abbastanza di un classico...
Hai provato a fare un disegno per renderti conto della situazione?
$x^2 + y^2 + z^2 = 9 = 3^2 $ è l'equazione di una sfera di raggio $R = 3 $; siccome poi specifica che $z >= 0 $, allora basta considerare la semisfera $0 <= z = f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2} $
$x^2 + y^2 <= 3 = (\sqrt 3)^2 $ invece in 3D è un cilindro di raggio $r = \sqrt 3 $, quindi la superficie richiesta è quella della semisfera $ z = f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2} $ che si trova all'interno del cilindro di equazione $ x^2 + y^2 = 3 $, che è data da
$ S = \int\int_D \sqrt{1 + ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2} \text{d}x \text{d}y $
ove $ z = f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2} $ e $D = {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 <= 3} $
Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente, ma se serve altro aiuto siamo qui...
Ciao Pilloeffe! Grazie mille per l'aiuto innanzitutto..
ti chiedo solo se questi passaggi sono giusti per il calcolo..
purtroppo non ho il risultato (la prof non li mette)...
$ int int sqrt(1+(-2x)^2+(-2y)^2]dx dy $
$ int int sqrt(1+4x^2+4y^2]dx dy $
Passerei dunque alle coordinate polari
$ 0<=rho <=sqrt(3); 0<=vartheta <=2pi $ .
$ int_(0)^(2pi ) int_(0)^(sqrt(3)) rho sqrt(1+4rho ^2) drho dvartheta $
ti chiedo solo se questi passaggi sono giusti per il calcolo..
purtroppo non ho il risultato (la prof non li mette)...
$ int int sqrt(1+(-2x)^2+(-2y)^2]dx dy $
$ int int sqrt(1+4x^2+4y^2]dx dy $
Passerei dunque alle coordinate polari
$ 0<=rho <=sqrt(3); 0<=vartheta <=2pi $ .
$ int_(0)^(2pi ) int_(0)^(sqrt(3)) rho sqrt(1+4rho ^2) drho dvartheta $
Beh, vedo diversi errori; visto che a quanto pare non hai neanche un esercizio "modello" al quale ricondurti, conviene completare questo.
Si ha:
$ (del f)/(del x) = -x/sqrt(9 - x^2 - y^2) implies ((del f)/(del x))^2 = x^2/(9 - x^2 - y^2) $
$ (del f)/(del y) = -y/sqrt(9 - x^2 - y^2) implies ((del f)/(del y))^2 = y^2/(9 - x^2 - y^2) $
Dunque si ha:
$S = intint_D sqrt{1 + ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2} ext{d}x ext{d}y = intint_D sqrt{1 + x^2/(9 - x^2 - y^2) + y^2/(9 - x^2 - y^2)} ext{d}x ext{d}y = $
$ = intint_D sqrt{9/(9 - x^2 - y^2)} ext{d}x ext{d}y = 3 intint_D 1/(sqrt{9 - (x^2 + y^2)}) ext{d}x ext{d}y = 3 intint_D 1/(sqrt{3^2 - (sqrt{x^2 + y^2})^2}) ext{d}x ext{d}y $
A questo punto appare evidente la convenienza di passare alle coordinate polari per cui, ricordando lo jacobiano che per le coordinate polari è semplicemente $
ho $, si ha:
$S = 3 intint_D 1/(sqrt{9 - (sqrt{x^2 + y^2})^2}) ext{d}x ext{d}y = 3int_0^{2pi} ext{d}vartheta int_0^{sqrt3}
ho/(sqrt{9 -
ho^2}) ext{d}
ho = 6pi [- sqrt{9 -
ho^2}]_0^{sqrt3} = $
$ = 6pi [- sqrt{9 - 3} + sqrt{9}] = 6pi (3 - sqrt{6}) = 18pi - 6pi sqrt{6} $
Potrebbe essere anche di qualche interesse generalizzare il discorso ad una sfera di raggio $R$ e ad un cilindro di raggio $r <= R $. I conti rimangono sostanzialmente gli stessi:
$S = R intint_D 1/(sqrt{R^2 - (sqrt{x^2 + y^2})^2}) ext{d}x ext{d}y = R int_0^{2pi} ext{d}vartheta int_0^r
ho/(sqrt{R^2 -
ho^2}) ext{d}
ho = 2pi R [- sqrt{R^2 -
ho^2}]_0^r = $
$ = 2 pi R [- sqrt{R^2 - r^2} + sqrt{R^2}] = 2 pi R (R - sqrt{R^2 - r^2}) $
Nel caso particolare $r = R$ si ha $ S = 2 pi R^2 $ che è proprio la superficie di una semisfera.
Si ha:
$ (del f)/(del x) = -x/sqrt(9 - x^2 - y^2) implies ((del f)/(del x))^2 = x^2/(9 - x^2 - y^2) $
$ (del f)/(del y) = -y/sqrt(9 - x^2 - y^2) implies ((del f)/(del y))^2 = y^2/(9 - x^2 - y^2) $
Dunque si ha:
$S = intint_D sqrt{1 + ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2} ext{d}x ext{d}y = intint_D sqrt{1 + x^2/(9 - x^2 - y^2) + y^2/(9 - x^2 - y^2)} ext{d}x ext{d}y = $
$ = intint_D sqrt{9/(9 - x^2 - y^2)} ext{d}x ext{d}y = 3 intint_D 1/(sqrt{9 - (x^2 + y^2)}) ext{d}x ext{d}y = 3 intint_D 1/(sqrt{3^2 - (sqrt{x^2 + y^2})^2}) ext{d}x ext{d}y $
A questo punto appare evidente la convenienza di passare alle coordinate polari per cui, ricordando lo jacobiano che per le coordinate polari è semplicemente $
ho $, si ha:
$S = 3 intint_D 1/(sqrt{9 - (sqrt{x^2 + y^2})^2}) ext{d}x ext{d}y = 3int_0^{2pi} ext{d}vartheta int_0^{sqrt3}
ho/(sqrt{9 -
ho^2}) ext{d}
ho = 6pi [- sqrt{9 -
ho^2}]_0^{sqrt3} = $
$ = 6pi [- sqrt{9 - 3} + sqrt{9}] = 6pi (3 - sqrt{6}) = 18pi - 6pi sqrt{6} $
Potrebbe essere anche di qualche interesse generalizzare il discorso ad una sfera di raggio $R$ e ad un cilindro di raggio $r <= R $. I conti rimangono sostanzialmente gli stessi:
$S = R intint_D 1/(sqrt{R^2 - (sqrt{x^2 + y^2})^2}) ext{d}x ext{d}y = R int_0^{2pi} ext{d}vartheta int_0^r
ho/(sqrt{R^2 -
ho^2}) ext{d}
ho = 2pi R [- sqrt{R^2 -
ho^2}]_0^r = $
$ = 2 pi R [- sqrt{R^2 - r^2} + sqrt{R^2}] = 2 pi R (R - sqrt{R^2 - r^2}) $
Nel caso particolare $r = R$ si ha $ S = 2 pi R^2 $ che è proprio la superficie di una semisfera.
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