Integrale di superficie

[mravelli]

dopo qualche anno di inattività proprio non ho memoria di come risolvere questo

"Data la superficie cartesiana esplicita z = x*y calcolare l'area della porzione definita nel dominio del piano corrispondente al semicerchio di raggio unitario, centrato nella origine degli assi e situato nel semipiano con y ≥ 0"

-a memoria-
ho pensato di parametrizzare il semicerchio sulla superficie come $ [cos(\theta), sin(\theta),cos(\theta)sin(\theta)] $ con $ 0 <= r <= 1 $ e $ -\pi/2 <= \theta <= \pi/2 $
ma poi mi sono bloccato sul da farsi dopo.

[Black Magic]

Possiamo parametrizzare la superficie nel seguente modo:

$\vec{r}(x,y)=(x,y,xy)$

a questo punto, possiamo ricordarci che l'elemento d'area $d\sigma$ è tale che:

$d\sigma=||\vec{r}_x \times \vec{r}_y||dxdy$
dove il prodotto vettoriale indicato è tra le derivate parziali di $r$.

[mravelli]

giusto,
quindi converto in polari $ ||\vec{r}_x \times \vec{r}_y|| = √(p^2 + 1) $

e poi integro con lo jacobiano

$ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} p*\sqrt{1 + p^2 }\ \ dx \ d\theta = \pi*(2√2 - 1)/3 $ (sempre che abbia calcolato bene)