Integrale di superficie
data la superficie
${ (x, y , z ) : x^2+y^2+z^2=4 ; z>= sqrt(2) }$
calcolare l'integrale di superficie $ int int f d sigma $
con$ f( x,y,z)=e^z$
potreste aiutarmi a risolverlo?
Grazie
${ (x, y , z ) : x^2+y^2+z^2=4 ; z>= sqrt(2) }$
calcolare l'integrale di superficie $ int int f d sigma $
con$ f( x,y,z)=e^z$
potreste aiutarmi a risolverlo?
Grazie
Risposte
con le coordinate sferiche è semplicissimo, rimane un integrale in una sola variabile
Ciao.
L'argomento in questione è fuori dalla mia portata, ma comunque mi permetto di darti qualche suggerimento. Prendi con le pinze ciò che sto per scriverti.
Ricordiamo la definizione di integrale di superficie quando questa è data in forma parametrica, ma per noi giovincielli la chiamiamo semplicemente "la formula":
$$ \iint_\sigma f(x,y,z) \, d\sigma = \iint_\sigma f(\vec{r}) \left\|\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}\right\| \, ds\, dt$$
Dove $\vec{r}$ è una parametrizzazione della curva $\sigma$ coi parametri $s$ e $t$.
Noi possediamo la superficie come un sistema di equazioni/disequazioni che si prestano bene ad essere parametrizzate con le coordinate sferiche.
Se ti disegni una figurina, ogni punto della sfera lo consideriamo un vettore (dall'origine), lo proiettiamo nel piano xy e chiameremo $\theta$ l'angolo rispetto all'asse x del vettore proiettato. Chiameremo $\phi$ l'angolo tra il vettore e l'asse z.
Si ottengono le seguenti trasformazioni:
\[ \begin{cases}
x=2\sin\phi\cos\theta \\
y=2\sin\phi\sin\theta \\
z=2\cos\phi \
\end{cases} \]
che se consideriamo come vettore, corrisponde anche ad $\vec{r}$.
Per terminare la parametrizzazione, dobbiamo scegliere un intervallo entro il quale ogni parametro può assumere i valori.
Per fare questo, disegni un'altra figurina di una sfera di centro O e raggio 2,intersecata da un piano orizzontale a quota $\sqrt2$.
Scoprirai che l'angolo massimo che il nostro $\phi$ può assumere corrisponde a $\pi/4$. Mentre $\theta$ varia da $0$ a $2\pi$.
Il più è fatto. Calcolando le derivate parziali di $\vec{r}$, facendone il prodotto vettoriale e calcolandone la norma, si ottiene $4\sin\phi$, mentre $$f(\vec{r})=e^{2\cos\phi}$$
Quindi l'integrale di partenza diventa:
$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4} 4 e^{2\cos\phi} \sin\phi \,d\phi\,d\theta$$
L'argomento in questione è fuori dalla mia portata, ma comunque mi permetto di darti qualche suggerimento. Prendi con le pinze ciò che sto per scriverti.
Ricordiamo la definizione di integrale di superficie quando questa è data in forma parametrica, ma per noi giovincielli la chiamiamo semplicemente "la formula":
$$ \iint_\sigma f(x,y,z) \, d\sigma = \iint_\sigma f(\vec{r}) \left\|\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}\right\| \, ds\, dt$$
Dove $\vec{r}$ è una parametrizzazione della curva $\sigma$ coi parametri $s$ e $t$.
Noi possediamo la superficie come un sistema di equazioni/disequazioni che si prestano bene ad essere parametrizzate con le coordinate sferiche.
Se ti disegni una figurina, ogni punto della sfera lo consideriamo un vettore (dall'origine), lo proiettiamo nel piano xy e chiameremo $\theta$ l'angolo rispetto all'asse x del vettore proiettato. Chiameremo $\phi$ l'angolo tra il vettore e l'asse z.
Si ottengono le seguenti trasformazioni:
\[ \begin{cases}
x=2\sin\phi\cos\theta \\
y=2\sin\phi\sin\theta \\
z=2\cos\phi \
\end{cases} \]
che se consideriamo come vettore, corrisponde anche ad $\vec{r}$.
Per terminare la parametrizzazione, dobbiamo scegliere un intervallo entro il quale ogni parametro può assumere i valori.
Per fare questo, disegni un'altra figurina di una sfera di centro O e raggio 2,intersecata da un piano orizzontale a quota $\sqrt2$.
Scoprirai che l'angolo massimo che il nostro $\phi$ può assumere corrisponde a $\pi/4$. Mentre $\theta$ varia da $0$ a $2\pi$.
Il più è fatto. Calcolando le derivate parziali di $\vec{r}$, facendone il prodotto vettoriale e calcolandone la norma, si ottiene $4\sin\phi$, mentre $$f(\vec{r})=e^{2\cos\phi}$$
Quindi l'integrale di partenza diventa:
$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4} 4 e^{2\cos\phi} \sin\phi \,d\phi\,d\theta$$
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