Integrale di superficie

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei dubbi con questo esercizio.

Calcolare l'integrale di superficie

$ int_(Sigma)^() z/(1+x^2+y^2)^(1/2) d sigma $

ove S è la superficie di equazione cartesiana $ z = xy $ che si proietta nel piano (x,y) sull'insieme

$ D = {(x,y)inRR^2:0<=y<=sqrt3 x, x^2+y^2<=1} $

Ho applicato la definizione di integrale superficiale di una funzione g esteso alla superficie sigma

$ int_(Sigma)^() g(x,y,z) dsigma=int int_(D)^() g(varphi (u,v))* $ |(partialvarphi)/(partialu)^^(partialvarphi)/(partialv)|= sqrt(1+x^2+y^2) $ du dv $

Poichè la superficie è data in forma cartesiana come $ (u,v) $ posso prendere $(x,y)$ quindi scrivo

$ varphi(x,y)=(x,y,xy) $

$ (partialvarphi(x,y))/(partialx)=(1,0,y) $

$ (partialvarphi(x,y))/(partialy)=(0,1,y) $

Calcolando ho che $ |(partialvarphi)/(partialu)^^(partialvarphi)/(partialv)|= sqrt(1+x^2+y^2) $

QUindi l'integrale diventa

$ int int_(D)^() xydx dy $

E fin qui dovrebbe essere giusto.

Ora passo a coordinate polari $ rArr{ ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $
e dal dominio D ottengo

$ rho^2<=1 rArr0<=rho<=1 $

e poi $ sintheta<=sqrt3 costheta $ . Intuitivamente direi che $ 0<=theta<=pi/3 $
Come risolvo questa disequazione?

[marthy_92]

Si, Tem tutto chiaro grazie. Gentilissimo come sempre