Integrale di superficie

[jaipaul]

Ciao a tutti,

mi potreste aiutare con questo integrale?



io ho provato a parametrizzare cosi: $ sigma (x,y)=( (x), (y), (sqrt(1-x^2-y^2) ) ) $

con $ dsigma = 1/(sqrt(1-x^2-y^2 $ e $ 0
Solo che cosi la risoluzione dell'integrale è veramente impossibile!

[poll89]

mmm, hai provato con le coordinate sferiche standard? parlo di

$ sigma (\theta , \phi)= ( (cos(\theta)sin(\phi)), (sin(\theta)sin(\phi)),(cos(\phi)) ) $

essendo la sfera unitaria il raggio non compare

[jaipaul]

Ho provato con le coordinate sferiche ed ho:

$ int_(pi/2)^(pi/4) 1/sqrt(costheta) int_(0)^(pi)sqrt(sinvarphi/(2+costhetasinvarphi)^3) dvarphi dvartheta $

ed anche questo non ho idea di come risorverlo

[poll89]

aspetta, forse questo integrale non è da calcolare sulla superficie sferica. Cosa intende con "si proietta sul triangolo di vertici ecc ecc"? Non sono sicuro e non vorrei dirti c*****e ne ho falliti di esami perchè il professore scriveva testi criptici ed io interpretavo male...

[jaipaul]

dovrebbe essere in pratica un "pezzo" della superficie sferica (simile ad un triangolo iperbolico) però sicuramente ci sarà un modo piu semplice per evitare tutti questi calcoli!

[rino6999]

innanzitutto scriviamo l'integrando in una forma più simpatica
$\frac{1}{(1+x) \sqrt{1-x^2}}$
e partiamo da qui
$ int_(0)^(1) \frac{1}{(1+x) \sqrt{1-x^2}}dx int_(0)^(1-x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dy$
che è uguale a
$ int_(0)^(1) \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}[arcsen\frac{y}{sqrt{1-x^2}}]_0^{1-x}dx$
cioè
$ int_(0)^(1) \frac{1} {(1+x)\sqrt{1-x^2}}arcsen\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$
e a questo punto il colpo di scena...
integrando per sostituzione,ponendo $t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$,si ottiene l'integrale
$ int_(0)^(1) arcsent dt $
di facile risoluzione