Integrale di superficie
Ciao a tutti!
Sono alle prese con gli integrali di superficie.. ma non mi è ben chiara una cosa.
Calcolare l'integrale di superficie $ int int_(S)z(2x+y) dS $ dove $S={(x,y,z)inR^3: x^2+y^2+z^2=2, z>=0,x>=0,y>=0}$
Se non ho capito male dalla teoria, io devo prima trovare la mia $z$ in quanto devo ricondurmi alla forma:
$g(x,y)=(x,y,f(x,y))$
Quindi $z=(2-x^2+y^2)^1/2$. Dalle condizioni iniziali ho inoltre che $z$ deve essere: $z>=0$
Allora il tutto diventa:
$(2-x^2+y^2)^(1/2)>=0$ da cui $x^2+y^2<=2$
Arrivato a questo punto non ho capito come devo procedere. Sostituendo nella forma:
$g(x,y)=(x,y,f(x,y))$
ottengo
$ int int_(S)(2-x^2-y^2)^(1/2)(2x+y) dS $
Però mi mancano tutte le limitazioni.
Grazie mille
Ciaoo!
Sono alle prese con gli integrali di superficie.. ma non mi è ben chiara una cosa.
Calcolare l'integrale di superficie $ int int_(S)z(2x+y) dS $ dove $S={(x,y,z)inR^3: x^2+y^2+z^2=2, z>=0,x>=0,y>=0}$
Se non ho capito male dalla teoria, io devo prima trovare la mia $z$ in quanto devo ricondurmi alla forma:
$g(x,y)=(x,y,f(x,y))$
Quindi $z=(2-x^2+y^2)^1/2$. Dalle condizioni iniziali ho inoltre che $z$ deve essere: $z>=0$
Allora il tutto diventa:
$(2-x^2+y^2)^(1/2)>=0$ da cui $x^2+y^2<=2$
Arrivato a questo punto non ho capito come devo procedere. Sostituendo nella forma:
$g(x,y)=(x,y,f(x,y))$
ottengo
$ int int_(S)(2-x^2-y^2)^(1/2)(2x+y) dS $
Però mi mancano tutte le limitazioni.
Grazie mille
Ciaoo!
Risposte
Le limitazioni sono date implicitamente dalla forma della superficie $S$. Tuttavia procedere con le coordinate cartesiane non è molto comodo, in questo caso. Usa le coordinate cilindriche: in tal modo
$x=\rho\cos t,\ y=\rho\sin t,\ z=z$
la funzione che definisce la superficie diventa $\rho^2+z^2=2$. Osservando che $S$ è uno spicchio della sfera di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ nel primo ottante, risulta immediato verificare che $t\in[0,\pi/2]$ (siamo nel primo ottante)
$z=\sqrt{2-\rho^2}$ con la condizione che $\rho\in[0,\sqrt{2}]$.
$x=\rho\cos t,\ y=\rho\sin t,\ z=z$
la funzione che definisce la superficie diventa $\rho^2+z^2=2$. Osservando che $S$ è uno spicchio della sfera di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ nel primo ottante, risulta immediato verificare che $t\in[0,\pi/2]$ (siamo nel primo ottante)
$z=\sqrt{2-\rho^2}$ con la condizione che $\rho\in[0,\sqrt{2}]$.
Ok perfetto con le coordinate polari riesco a trovare le varie condizioni.. però ora l'integrale come diventa?
$ int_(0)^(2^(1/2)) int_(0)^(pi/2) (2-p^2)^(1/2)(2rhocostheta+rhosentheta)d/(d(theta))d/(drho) $
Grazie
Ciao!
$ int_(0)^(2^(1/2)) int_(0)^(pi/2) (2-p^2)^(1/2)(2rhocostheta+rhosentheta)d/(d(theta))d/(drho) $
Grazie
Ciao!
Ma lo sai che c'è una "formuletta" per scrivere un integrale di superficie? Se hai una funzione $f:S\subset RR^3\rightarrow RR$ con $S$ parametrizzato da $\varphi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ allora l'integrale di superficie diventa
$\int_S f(x,y,z)\ d\sigma=\int_S f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\ du\ dv$
dove $E=\varphi_u\times\varphi_u,\ F=\varphi_u\times\varphi_v,\ G=\varphi_v\times\varphi_v$ essendo $\times$ il prodotto scalare e $\varphi_u,\ Varphi_v$ le derivate parziali del vettore $\varphi$ rispetto ad $u,v$ rispettivamente.
$\int_S f(x,y,z)\ d\sigma=\int_S f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\ du\ dv$
dove $E=\varphi_u\times\varphi_u,\ F=\varphi_u\times\varphi_v,\ G=\varphi_v\times\varphi_v$ essendo $\times$ il prodotto scalare e $\varphi_u,\ Varphi_v$ le derivate parziali del vettore $\varphi$ rispetto ad $u,v$ rispettivamente.
Ciao!
Grazie mille ci sono quasi!
Ho fatto la sostituzione e calcolato le varie derivate.. quindi ottengo
$int int(2-rho^2)^(1/2)rho^2costsent((-4rho)/(2-rho)^(1/2)) dx dy $
In quanto
$(ds)/(du)=2rho$
$(ds)/(dv)=(-2rho)/(2-rho^2)$
Allora l'integrale risulta:
$2int_(0)^(2^(1/2)) rho^3 drho int_(0)^((pi/2))sen2tdt$
Mi risulta $-4$ al posto di $4$
Grazie ancora!
Ciaoo!
Grazie mille ci sono quasi!
Ho fatto la sostituzione e calcolato le varie derivate.. quindi ottengo
$int int(2-rho^2)^(1/2)rho^2costsent((-4rho)/(2-rho)^(1/2)) dx dy $
In quanto
$(ds)/(du)=2rho$
$(ds)/(dv)=(-2rho)/(2-rho^2)$
Allora l'integrale risulta:
$2int_(0)^(2^(1/2)) rho^3 drho int_(0)^((pi/2))sen2tdt$
Mi risulta $-4$ al posto di $4$
Grazie ancora!
Ciaoo!
A parte che l'integrale dovresti calcolarlo in $\d\rho dt$ (e non $dx\ dy$), ma non ho capito cosa hai scritto.
Ciao!
Scusa ma non riesco proprio a capire come devo fare per passare da
$int_S f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))(EG-F^(1/2))^(1/2))
Al mio integrale.
Il mio vettore $varphi$ sarebbe:
$(2-rho^2)^(1/2)rho^2costsent$?
Grazie
Ciao!
Scusa ma non riesco proprio a capire come devo fare per passare da
$int_S f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))(EG-F^(1/2))^(1/2))
Al mio integrale.
Il mio vettore $varphi$ sarebbe:
$(2-rho^2)^(1/2)rho^2costsent$?
Grazie
Ciao!
Allora, come dicevamo la superficie si parametrizza come
$x=\rho\cos t,\ y=\rho\sin t,\ z=\sqrt{2-\rho^2}$ con $\rho\in[0,\sqrt{2}],\ t\in[0,\pi/2]$.
Essendo $\varphi(\rho,t)=(\rho\cos t,\rho\sin t,\sqrt{2-\rho^2})$ si ha
$\varphi_\rho=(\cos t,\sin t,-\frac{\rho}{\sqrt{2-\rho^2}}),\qquad \varphi_t=(-\rho\sin t,\rho\cos t,0)$
e pertanto
$E=1+\frac{\rho^2}{2-\rho^2}=\frac{2}{2-\rho^2},\qquad F=0,\qquad G=\rho^2$.
Abbiamo allora per l'integrale
$\int_0^{\sqrt{2}}\int_0^{\pi/2} \sqrt{2-\rho^2}(2\rho\cos t+\rho\sin t)\sqrt{\frac{2\rho^2}{2-\rho^2}}\ dt\ d\rho=\sqrt{2}\int_0^{\sqrt{2}}\int_0^{\pi/2} \rho^2(2\cos t+\sin t)\dt\ d\rho$
Per questo integrale non dovresti avere problemi.
$x=\rho\cos t,\ y=\rho\sin t,\ z=\sqrt{2-\rho^2}$ con $\rho\in[0,\sqrt{2}],\ t\in[0,\pi/2]$.
Essendo $\varphi(\rho,t)=(\rho\cos t,\rho\sin t,\sqrt{2-\rho^2})$ si ha
$\varphi_\rho=(\cos t,\sin t,-\frac{\rho}{\sqrt{2-\rho^2}}),\qquad \varphi_t=(-\rho\sin t,\rho\cos t,0)$
e pertanto
$E=1+\frac{\rho^2}{2-\rho^2}=\frac{2}{2-\rho^2},\qquad F=0,\qquad G=\rho^2$.
Abbiamo allora per l'integrale
$\int_0^{\sqrt{2}}\int_0^{\pi/2} \sqrt{2-\rho^2}(2\rho\cos t+\rho\sin t)\sqrt{\frac{2\rho^2}{2-\rho^2}}\ dt\ d\rho=\sqrt{2}\int_0^{\sqrt{2}}\int_0^{\pi/2} \rho^2(2\cos t+\sin t)\dt\ d\rho$
Per questo integrale non dovresti avere problemi.
Ciao!
Mi spiace ma non riesco ancora a capire come sei arrivato a quell'integrale
Sul libro la definizione di integrale di superficie è questa:
"L'integrale di superficie di g su S è definito da:"
$int int_S g(x,y,z)dS= int int_T g(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||(dr)/(du)xx(dr)/(dv)||dudv$
Per il primo pezzo, la sostituzione di g ci sono arrivato, ma ora non riesco a capire come calcolare correttamente $||(dr)/(du)xx(dr)/(dv)||$
Se non ho capito male, la norma è data da:
$(1+((dr)/(du))^2+((dr)/(dv))^2)^(1/2)$ che nel mio caso diventa (elevando al quadrato le due derivate ed eseguendo la somma)
$((2+(rho)^2/(2-rho^2)+rho^2))^(1/2)$
Che è diversa da quella che hai ottenuto.. ho guardato anche degli esercizi svolti a lezione ma proprio non riesco a tirare fuori questa norma.
Se riesco a capire questo passaggio sono a posto
Grazie
Ciao!
Mi spiace ma non riesco ancora a capire come sei arrivato a quell'integrale
Sul libro la definizione di integrale di superficie è questa:
"L'integrale di superficie di g su S è definito da:"
$int int_S g(x,y,z)dS= int int_T g(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||(dr)/(du)xx(dr)/(dv)||dudv$
Per il primo pezzo, la sostituzione di g ci sono arrivato, ma ora non riesco a capire come calcolare correttamente $||(dr)/(du)xx(dr)/(dv)||$
Se non ho capito male, la norma è data da:
$(1+((dr)/(du))^2+((dr)/(dv))^2)^(1/2)$ che nel mio caso diventa (elevando al quadrato le due derivate ed eseguendo la somma)
$((2+(rho)^2/(2-rho^2)+rho^2))^(1/2)$
Che è diversa da quella che hai ottenuto.. ho guardato anche degli esercizi svolti a lezione ma proprio non riesco a tirare fuori questa norma.
Se riesco a capire questo passaggio sono a posto
Grazie
Ciao!
$\varphi_\rho\times\varphi_t=(\frac{\rho^2}{\sqrt{2-\rho^2}}\cos t,\frac{\rho^2}{\sqrt{2-\rho^2}}\sin t,\rho)$
per cui la norma viene
$\sqrt{\frac{\rho^4}{2-\rho^2}+\rho^2}=\sqrt{\frac{2\rho^2}{2-\rho^2}}$
Ricalcola il prodotto vettoriale, perché hai fatto qualche errore.
EDIT: ah, un'altra cosa: tu in pratica stai affermando che $||v\times w||=\sqrt{1+v^2+w^2}$. A me pare difficile che venga fuori questa cosa. Ciò che è vero è che se la superficie è parametrizzata in forma cartesiana da
$z=f(x,y)$
allora si ha
$||N||=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$
dove $N$ è il vettore normale alla superficie.
per cui la norma viene
$\sqrt{\frac{\rho^4}{2-\rho^2}+\rho^2}=\sqrt{\frac{2\rho^2}{2-\rho^2}}$
Ricalcola il prodotto vettoriale, perché hai fatto qualche errore.
EDIT: ah, un'altra cosa: tu in pratica stai affermando che $||v\times w||=\sqrt{1+v^2+w^2}$. A me pare difficile che venga fuori questa cosa. Ciò che è vero è che se la superficie è parametrizzata in forma cartesiana da
$z=f(x,y)$
allora si ha
$||N||=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$
dove $N$ è il vettore normale alla superficie.
Ciao!
Grazie mille per la pazienza! Adesso ho capito come fare.. avevo sbagliato a calcolare il prodotto vettoriale!
Per la norma ho sbagliato, ho fatto confusione tra la norma di una superficie in forma cartesiana ed una superficie in coordinate cilindriche.
Se io non facevo il cambiamento di coordinate allora dovevo impostare diversamente il problema, quindi la norma risultava $$||N||=(1+(f_x)^2+(f_y)^2)^(1/2)$, ma avendo fatto il cambiamento in coordinate cilindriche allora devo utilizzare il metodo da te descritto.
Grazie mille ora ho capito bene il tutto
Ciaoo!
Grazie mille per la pazienza! Adesso ho capito come fare.. avevo sbagliato a calcolare il prodotto vettoriale!
Per la norma ho sbagliato, ho fatto confusione tra la norma di una superficie in forma cartesiana ed una superficie in coordinate cilindriche.
Se io non facevo il cambiamento di coordinate allora dovevo impostare diversamente il problema, quindi la norma risultava $$||N||=(1+(f_x)^2+(f_y)^2)^(1/2)$, ma avendo fatto il cambiamento in coordinate cilindriche allora devo utilizzare il metodo da te descritto.
Grazie mille ora ho capito bene il tutto
Ciaoo!
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