Integrale di superfice
Salve a tutti, scusate se ho inserito una nuova discussione ma ho un esame tra pochi giorni.
Diciamo che ho quasi tutto chiaro riguardo gli esercizi (Teoremi di Gauss e Stokes) però non ho capito come orientare la normale per il calcolo dell'integrale di superfice. Mi spiego meglio, se ad esempio ho una semisfera negativa di equazione
$x^2+y^2 + z^2 =4 $
prendendo quindi la parte $z<0$
per il calcolo della normale alla superfice uso una parametrizzazione in
$r(varphi , Theta )$ = $ { ( x = 2cosvarphisinTheta ),( y = 2sinvarphisinTheta ),( y=2cosTheta ):} $
$ 0<=varphi<=2pi $
$ 3/2pi <=Theta<=2pi $
Svolgo quindi il prodotto vettoriale
$r_varphi xx r_Theta = (-4sin^2Thetacosvarphi, 4sin^2Thetasinvarphi, -4sinThetacosTheta) $
Non ho capito e non ho idea perché in alcune situazioni negli esercizi che ho, alcune volte la normale è presa in modulo mentre in altre volte è cambiata di segno, non ho capito, qualcuno gentilmente può togliermi questo dubbio, un grazie davvero immenso in anticipo
Diciamo che ho quasi tutto chiaro riguardo gli esercizi (Teoremi di Gauss e Stokes) però non ho capito come orientare la normale per il calcolo dell'integrale di superfice. Mi spiego meglio, se ad esempio ho una semisfera negativa di equazione
$x^2+y^2 + z^2 =4 $
prendendo quindi la parte $z<0$
per il calcolo della normale alla superfice uso una parametrizzazione in
$r(varphi , Theta )$ = $ { ( x = 2cosvarphisinTheta ),( y = 2sinvarphisinTheta ),( y=2cosTheta ):} $
$ 0<=varphi<=2pi $
$ 3/2pi <=Theta<=2pi $
Svolgo quindi il prodotto vettoriale
$r_varphi xx r_Theta = (-4sin^2Thetacosvarphi, 4sin^2Thetasinvarphi, -4sinThetacosTheta) $
Non ho capito e non ho idea perché in alcune situazioni negli esercizi che ho, alcune volte la normale è presa in modulo mentre in altre volte è cambiata di segno, non ho capito, qualcuno gentilmente può togliermi questo dubbio, un grazie davvero immenso in anticipo
Risposte
Mamma mia che casino. Con un disegno avresti concluso in mezzo secondo che il campo vettoriale da te cercato è
\[
n(x, y, z)=(\frac{x}{2}, \frac y 2, \frac z 2).\]
Non sono ironico o sarcastico, vorrei davvero suggerirti di ragionare di più sui disegni e di meno sui procedimenti meccanici.
\[
n(x, y, z)=(\frac{x}{2}, \frac y 2, \frac z 2).\]
Non sono ironico o sarcastico, vorrei davvero suggerirti di ragionare di più sui disegni e di meno sui procedimenti meccanici.
Ciao si lo so hai perfettamente ragione però adesso mi sto concentrando sull'esame e purtroppo gli esercizi li vuole fatti così io che ci posso fare..
Comunque non è il campo vettoriale che devo trovare ma l'elemento di superfice per il calcolo dell'integrale per questo ho scritto il prodotto vettoriale.
Comunque non è il campo vettoriale che devo trovare ma l'elemento di superfice per il calcolo dell'integrale per questo ho scritto il prodotto vettoriale.
"dome88":
purtroppo gli esercizi li vuole fatti così io che ci posso fare..
[ot]Questa è esattamente l'impostazione mentale della gente mediocre. Se ti accontenti di essere un mediocre, per me non c'è problema. Ma su questo forum ci sforziamo di crescere.[/ot]
l'elemento di superficie
Se hai bisogno dell'elemento di superficie \(dS\), usando l'approccio che hai scritto con il prodotto vettoriale (ce ne sono anche molti altri) si ottiene
\[
dS= \lvert \partial_\phi r \times\partial_\theta r\rvert\, d\phi d\theta.\]
In particolare, il fatto di prendere il modulo del prodotto vettoriale fa sparire tutte le ambiguità di segno.
Ok quindi modulo della normale. Grazieee milleeee 
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