Integrale di (sen(x))^(-2)

stefanofet
Come da titolo l'integrale di (sen(x))^(-2) e di (sen(x))^(-1) :)
Pensavo di risolverlo per parti ma non so quali due parti prendere :shock:

Risposte
Sk_Anonymous
i) Dalla tavola delle derivate fondamentali: $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\ctg x + c$.

ii) Vale $\int \frac{dx}{\sin x} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} dx =$ $-\int \frac{d(cos(\frac{x}{2}))} {cos(x/2)} + \int \frac{d(\sin(x/2))}{\sin(x/2)}$ $= -\ln |\cos(x/2)| + \ln |\sin(x/2)| + c = \ln |\tg(x/2)| + c$.

EDIT: corretto il MathML, forse che inizio a capirlo. :roll:

ficus2002
$int dx/{sin x}$

sostituzione $t=tan(x/2)$, $dx={2dt}/{1+t^2}$

$int dx/{sin x}=int {t^2+1}/{2t}{2dt}/{1+t^2}=int {dt}/{t}=log |t| + c=log |tan (x/2)| +c$

stefanofet
Ho provato a farne un altro dopo aver capito questo ma ho incontrato un altro problema, risolvendo per parti questo integrale non sembra arrivare mai una fine, forse è ricorsivo?

$int x^3*sec(x) dx$

Sk_Anonymous
"stefanofet":
Ho provato a farne un altro dopo aver capito questo ma ho incontrato un altro problema, risolvendo per parti questo integrale non sembra arrivare mai una fine, forse è ricorsivo? $int x^3*sec(x) dx$

Quell'integranda non ammette una primitiva elementare: parola di Wolfram! Controlla la traccia, è probabile che la secante non sia una secante, ma un seno, un coseno o qualcosa di analogo...

stefanofet
"HiTLeuLeR":
[quote="stefanofet"]Ho provato a farne un altro dopo aver capito questo ma ho incontrato un altro problema, risolvendo per parti questo integrale non sembra arrivare mai una fine, forse è ricorsivo? $int x^3*sec(x) dx$

Quell'integranda non ammette una primitiva elementare: parola di Wolfram! Controlla la traccia, è probabile che la secante non sia una secante, ma un seno, un coseno o qualcosa di analogo...[/quote]


$int x^3/sqrt(9+x^2) dx$ semplificando con il metodo della sostituzione inversa mi veniva l'integrale di prima, evidentemente è una svista
:wink:

Sk_Anonymous
Se il problema è calcolare l'integrale $\int \frac{x^3}{(9+x^2)^{1/2}} dx$, allora penso che la strada più saggia sia di usare le solite sostituzioni iperboliche: $x = 3\sinh(t)$ e $dx = 3 \cosh(t) dt$.

carlo232
"stefanofet":
Come da titolo l'integrale di (sen(x))^(-2) e di (sen(x))^(-1) :)
Pensavo di risolverlo per parti ma non so quali due parti prendere :shock:


Come ha fatto Hitleuler anche io ho consultato le mie tavole fondamentali, posto questa che magari potrebbe tornarti utile

$int (dx)/(sin^n x) = -(cos x)/((n-1)sin^(n-1)x)+(n-2)/(n+1) int (dx)/(sin^(n-2)x)$

e l'analoga per il coseno

$int (dx)/(cos^n x) = (sin x)/((n-1)cos^(n-1)x)+(n-2)/(n-1) int (dx)/(cos^(n-2) x)$

per $n>2$.

Ciao! :D

stefanofet
"HiTLeuLeR":
Se il problema è calcolare l'integrale $\int \frac{x^3}{(9+x^2)^{1/2}} dx$, allora penso che la strada più saggia sia di usare le solite sostituzioni iperboliche: $x = 3\sinh(t)$ e $dx = 3 \cosh(t) dt$.


infatti ho usato sostituire $x=3*sen(t)$ dentro $int x^3/sqrt(9+x^2) dx$ per cosi semplificare in $int x^3*sec(t) dx$ ma sbagliavo in quanto dovevo sositure anche la $x$ di $x^3$ solite distrazioni!

:lol:

Sk_Anonymous
"stefanofet":
[...] infatti ho usato sostituire $x=3*sen(t)$ dentro $int x^3/sqrt(9+x^2) dx$ per cosi semplificare in $int x^3*sec(t) dx$ ma sbagliavo in quanto dovevo sositure anche la $x$ di $x^3$ solite distrazioni!

No, evidentemente non ci siamo capiti! Le sostituzioni trigonometriche non portano a nulla, a meno che tu non te la cavi sufficientemente bene con l'analisi complessa. Quel che suggerivo moi era piuttosto una sostituzione iperbolica: $x = sinh(t)$ è un po' diverso che dire $x = sin(t)$.

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