Integrale di (sen(x))^(-2)
Come da titolo l'integrale di (sen(x))^(-2) e di (sen(x))^(-1)
Pensavo di risolverlo per parti ma non so quali due parti prendere

Pensavo di risolverlo per parti ma non so quali due parti prendere

Risposte
i) Dalla tavola delle derivate fondamentali: $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\ctg x + c$.
ii) Vale $\int \frac{dx}{\sin x} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} dx =$ $-\int \frac{d(cos(\frac{x}{2}))} {cos(x/2)} + \int \frac{d(\sin(x/2))}{\sin(x/2)}$ $= -\ln |\cos(x/2)| + \ln |\sin(x/2)| + c = \ln |\tg(x/2)| + c$.
EDIT: corretto il MathML, forse che inizio a capirlo.
ii) Vale $\int \frac{dx}{\sin x} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} dx =$ $-\int \frac{d(cos(\frac{x}{2}))} {cos(x/2)} + \int \frac{d(\sin(x/2))}{\sin(x/2)}$ $= -\ln |\cos(x/2)| + \ln |\sin(x/2)| + c = \ln |\tg(x/2)| + c$.
EDIT: corretto il MathML, forse che inizio a capirlo.

$int dx/{sin x}$
sostituzione $t=tan(x/2)$, $dx={2dt}/{1+t^2}$
$int dx/{sin x}=int {t^2+1}/{2t}{2dt}/{1+t^2}=int {dt}/{t}=log |t| + c=log |tan (x/2)| +c$
sostituzione $t=tan(x/2)$, $dx={2dt}/{1+t^2}$
$int dx/{sin x}=int {t^2+1}/{2t}{2dt}/{1+t^2}=int {dt}/{t}=log |t| + c=log |tan (x/2)| +c$
Ho provato a farne un altro dopo aver capito questo ma ho incontrato un altro problema, risolvendo per parti questo integrale non sembra arrivare mai una fine, forse è ricorsivo?
$int x^3*sec(x) dx$
$int x^3*sec(x) dx$
"stefanofet":
Ho provato a farne un altro dopo aver capito questo ma ho incontrato un altro problema, risolvendo per parti questo integrale non sembra arrivare mai una fine, forse è ricorsivo? $int x^3*sec(x) dx$
Quell'integranda non ammette una primitiva elementare: parola di Wolfram! Controlla la traccia, è probabile che la secante non sia una secante, ma un seno, un coseno o qualcosa di analogo...
"HiTLeuLeR":
[quote="stefanofet"]Ho provato a farne un altro dopo aver capito questo ma ho incontrato un altro problema, risolvendo per parti questo integrale non sembra arrivare mai una fine, forse è ricorsivo? $int x^3*sec(x) dx$
Quell'integranda non ammette una primitiva elementare: parola di Wolfram! Controlla la traccia, è probabile che la secante non sia una secante, ma un seno, un coseno o qualcosa di analogo...[/quote]
$int x^3/sqrt(9+x^2) dx$ semplificando con il metodo della sostituzione inversa mi veniva l'integrale di prima, evidentemente è una svista

Se il problema è calcolare l'integrale $\int \frac{x^3}{(9+x^2)^{1/2}} dx$, allora penso che la strada più saggia sia di usare le solite sostituzioni iperboliche: $x = 3\sinh(t)$ e $dx = 3 \cosh(t) dt$.
"stefanofet":
Come da titolo l'integrale di (sen(x))^(-2) e di (sen(x))^(-1)![]()
Pensavo di risolverlo per parti ma non so quali due parti prendere
Come ha fatto Hitleuler anche io ho consultato le mie tavole fondamentali, posto questa che magari potrebbe tornarti utile
$int (dx)/(sin^n x) = -(cos x)/((n-1)sin^(n-1)x)+(n-2)/(n+1) int (dx)/(sin^(n-2)x)$
e l'analoga per il coseno
$int (dx)/(cos^n x) = (sin x)/((n-1)cos^(n-1)x)+(n-2)/(n-1) int (dx)/(cos^(n-2) x)$
per $n>2$.
Ciao!

"HiTLeuLeR":
Se il problema è calcolare l'integrale $\int \frac{x^3}{(9+x^2)^{1/2}} dx$, allora penso che la strada più saggia sia di usare le solite sostituzioni iperboliche: $x = 3\sinh(t)$ e $dx = 3 \cosh(t) dt$.
infatti ho usato sostituire $x=3*sen(t)$ dentro $int x^3/sqrt(9+x^2) dx$ per cosi semplificare in $int x^3*sec(t) dx$ ma sbagliavo in quanto dovevo sositure anche la $x$ di $x^3$ solite distrazioni!

"stefanofet":
[...] infatti ho usato sostituire $x=3*sen(t)$ dentro $int x^3/sqrt(9+x^2) dx$ per cosi semplificare in $int x^3*sec(t) dx$ ma sbagliavo in quanto dovevo sositure anche la $x$ di $x^3$ solite distrazioni!
No, evidentemente non ci siamo capiti! Le sostituzioni trigonometriche non portano a nulla, a meno che tu non te la cavi sufficientemente bene con l'analisi complessa. Quel che suggerivo moi era piuttosto una sostituzione iperbolica: $x = sinh(t)$ è un po' diverso che dire $x = sin(t)$.