Integrale di $sen^{l+1}(\theta)$
[tex]\int_0^\pi sen^{l+1}\theta \;d\theta =[/tex]
cambiando variabile [tex]x=cos\theta[/tex]
[tex]\int_{-1}^1 (1-x^2)^l \;dx[/tex] a questo punto dopo aver tentato a cambiare ancora variabili, ho pensato di usare la formula della potenza ennesima con i coefficienti binomiali [tex](1-x^2)^l = \sum_{h=0}^l \binom{l}{h} (-1)^h x^{2h}[/tex]
perciò l'integrale mi diventa, dopo aver integrato singolarmente le potenze di x
[tex]\sum_{h=0}^l (-1)^h \frac{l!}{h! (l-h)!} \frac{2}{2h+1}[/tex]
ora, le dispense su cui sto studiando lasciano sottintesa la risoluzione dell'integrale e dicono che deve fare [tex]\frac{2^{l+1} (l!)^2}{(2l+1)!}[/tex]
ammesso che non abbia sbagliato sopra, qualcuno sa come proseguire?
Dovrebbe avere anche a che fare con i polinomi di Legendre...
cambiando variabile [tex]x=cos\theta[/tex]
[tex]\int_{-1}^1 (1-x^2)^l \;dx[/tex] a questo punto dopo aver tentato a cambiare ancora variabili, ho pensato di usare la formula della potenza ennesima con i coefficienti binomiali [tex](1-x^2)^l = \sum_{h=0}^l \binom{l}{h} (-1)^h x^{2h}[/tex]
perciò l'integrale mi diventa, dopo aver integrato singolarmente le potenze di x
[tex]\sum_{h=0}^l (-1)^h \frac{l!}{h! (l-h)!} \frac{2}{2h+1}[/tex]
ora, le dispense su cui sto studiando lasciano sottintesa la risoluzione dell'integrale e dicono che deve fare [tex]\frac{2^{l+1} (l!)^2}{(2l+1)!}[/tex]
ammesso che non abbia sbagliato sopra, qualcuno sa come proseguire?
Dovrebbe avere anche a che fare con i polinomi di Legendre...
Risposte
\int_0^\pi sen^{l+1}\theta \;d\theta =
cambiando variabile x=cos\theta
Forse sbaglio ma se sostituisci $x = cos( \theta )$ allora al posto di $d\theta$ ci devi mettere -> $dx = -sin(\theta) d\theta$ -> $-dx/(sin(theta)) = d\theta$
Poi $sin(\theta)^{l+1}$ lo puoi riscrivere come $(sin^2(\theta)^{{l+1}/2})$ che tu riscrivi come $(1 - cos^2(\theta)^{{l+1}/2})$
ma a questo punto ti conveniva sostituire direttamente il seno tanto purtroppo l'integrale ti rimane comunque sporco ossia hai una funzione in $\theta$ e una in $x$
l'integrale diventa $- int " " (1 - x^2)^{{l+1}/2} dx/(sin(theta)$
A me era venuta in mente un altra sostituzione:
$asin(\theta) = \theta$ -> $d\theta = 1/{sqrt(1-t^2)}$
quindi ricordando che $sin(asin(t)) = t$ l'integrale diventa:
$int " "t^{l+1}/sqrt(1-t^2) dt
che non so se sia piu semplice dell'altro ma gia è qualcosa. In ogni caso se la soluzione ha un fattoriale la cosa è alquanto strana. Dove la trovi la derivata del fattoriale ? ...e soproatutto come ci arrivi al fattoriale nella primitiva ?
L'unica cosa che mi viene in mente è qualche procedimento iterato per il calcolo dell'integrale ma non ne conosco nessuno a parte quello per parti.
Fox, non mi è chiaro perchè vuoi procedere per sostituzione...
Se [tex]$l$[/tex] è intero, l'integrale si fa per parti e si calcola con una semplice formula ricorsiva:
[tex]$\int_0^\pi \sin^{l+1}\theta\ \text{d}\theta=\int_0^\pi \sin^l\theta\ \text{d}[-\cos \theta]$[/tex]
[tex]$=[-\sin^l\theta\ \cos \theta]_0^\pi +\int_0^\pi l\sin^{l-1}\theta \ \cos^2\theta\ \text{d}\theta$[/tex]
[tex]$=l\int_0^\pi \sin^{l-1}\theta\ \text{d}\theta -l\int_0^\pi \sin^{l+1}\theta\ \text{d}\theta$[/tex]
da cui la formula di ricorrenza segue immediatamente.
Altro discorso se [tex]$l$[/tex] non è intero: in tal caso puoi applicare la ricorrenza finché l'esponente del seno non giace in [tex]$[0,1[$[/tex], ma poi ti rimane un integrale non elementare (che si può provare a risolvere in altro modo, ma non con le tecniche di base).
Se [tex]$l$[/tex] è intero, l'integrale si fa per parti e si calcola con una semplice formula ricorsiva:
[tex]$\int_0^\pi \sin^{l+1}\theta\ \text{d}\theta=\int_0^\pi \sin^l\theta\ \text{d}[-\cos \theta]$[/tex]
[tex]$=[-\sin^l\theta\ \cos \theta]_0^\pi +\int_0^\pi l\sin^{l-1}\theta \ \cos^2\theta\ \text{d}\theta$[/tex]
[tex]$=l\int_0^\pi \sin^{l-1}\theta\ \text{d}\theta -l\int_0^\pi \sin^{l+1}\theta\ \text{d}\theta$[/tex]
da cui la formula di ricorrenza segue immediatamente.
Altro discorso se [tex]$l$[/tex] non è intero: in tal caso puoi applicare la ricorrenza finché l'esponente del seno non giace in [tex]$[0,1[$[/tex], ma poi ti rimane un integrale non elementare (che si può provare a risolvere in altro modo, ma non con le tecniche di base).
@Bemipefe: Si scusa per far tornare quell'integrale sotto volevo dire [tex]\int_0^\pi sen^{2l+1}(\theta) \; d\theta[/tex] mi è scappato il due a scrivere... così che nel cambio il +1 sopra mi si semplifica
@Gugo: Beh, se la metti così non è più chiaro neanche a me perché volessi sostituire
Dunque l'integrale giusto è [tex]\int_0^\pi sen^{2l+1}(\theta) \;d\theta[/tex]
quindi procedendo come hai indicato ottengo
[tex]I_{2l+1}=\frac{2l}{2l+1} I_{2l-1}[/tex]
ora, [tex]l[/tex] è un numero intero, quindi [tex]2l+1[/tex] è dispari
e io con la formula procedo indietro a passi di 2, perciò mi rimarrà l'integrale del seno tra 0 e pigreco ([tex]I_1=2[/tex])
se non ho sbagliato i conti
[tex]I_{2l+1}=\prod_{k=0}^l \frac{2l-2k}{2l-2k+1}\; I_1= 2^{l+1} l! \prod_{k=0}^l \frac{1}{2l-2k+1}[/tex]
la cosa inizia a prendere forma.
Adesso [tex](2l+1) \cdot (2l-1) \cdot (2l-3) \dots 3 \cdot 1[/tex] è il fattoriale di [tex]2l+1[/tex] meno i termini pari in mezzo
e il prodotto dei termini pari è proprio [tex]2^l\; l![/tex]
quindi sostituendo sopra
[tex]I_{2l+1}= 2^{2l+1} \frac{(l!)^2}{(2l+1)!}[/tex] che a parte il 2 all'esponente è quello che cercavo...
credo in possibile errore delle dispense, ci ripenso domattina, oggi sono un pò stanco
Grazie!
@Gugo: Beh, se la metti così non è più chiaro neanche a me perché volessi sostituire
Dunque l'integrale giusto è [tex]\int_0^\pi sen^{2l+1}(\theta) \;d\theta[/tex]
quindi procedendo come hai indicato ottengo
[tex]I_{2l+1}=\frac{2l}{2l+1} I_{2l-1}[/tex]
ora, [tex]l[/tex] è un numero intero, quindi [tex]2l+1[/tex] è dispari
e io con la formula procedo indietro a passi di 2, perciò mi rimarrà l'integrale del seno tra 0 e pigreco ([tex]I_1=2[/tex])
se non ho sbagliato i conti
[tex]I_{2l+1}=\prod_{k=0}^l \frac{2l-2k}{2l-2k+1}\; I_1= 2^{l+1} l! \prod_{k=0}^l \frac{1}{2l-2k+1}[/tex]
la cosa inizia a prendere forma.
Adesso [tex](2l+1) \cdot (2l-1) \cdot (2l-3) \dots 3 \cdot 1[/tex] è il fattoriale di [tex]2l+1[/tex] meno i termini pari in mezzo
e il prodotto dei termini pari è proprio [tex]2^l\; l![/tex]
quindi sostituendo sopra
[tex]I_{2l+1}= 2^{2l+1} \frac{(l!)^2}{(2l+1)!}[/tex] che a parte il 2 all'esponente è quello che cercavo...
credo in possibile errore delle dispense, ci ripenso domattina, oggi sono un pò stanco
Grazie!
Non capisco del tutto i passaggi.
Io avrei fatto così: detto [tex]$I_n$[/tex] l'integrale con esponente [tex]$n$[/tex], per [tex]$n=2l+1$[/tex] si ha:
[tex]$I_{2l+1}=\frac{2l}{2l+1}\ I_{2l-1}$[/tex]
[tex]$=\frac{2l\ (2l-2)}{(2l+1)\ (2l-1)}\ I_{2l-3}$[/tex]
[tex]$=\frac{2l\ (2l-2)\ (2l-4)}{(2l+1)\ (2l-1)\ (2l-3)}\ I_{2l-5}$[/tex]
[tex]$=\ldots$[/tex]
[tex]$=\frac{2l\ (2l-2)\ (2l-4)\cdots\ 4\ 2}{(2l+1)\ (2l-1)\ (2l-3)\cdots\ 5\ 3}\ I_1$[/tex]
[tex]$=\frac{(2l)!!}{(2l+1)!!}\ I_1$[/tex]
[tex]$=2\ \frac{(2l)!!}{(2l+1)!!}$[/tex].
Poi volendo puoi tener presente che [tex]$(2l)!!=2^l\ l!$[/tex] e che [tex]$(2l+1)!!$[/tex] si può ricondurre ad una produttoria carina, ma non pernso ce ne sia bisogno.
Io avrei fatto così: detto [tex]$I_n$[/tex] l'integrale con esponente [tex]$n$[/tex], per [tex]$n=2l+1$[/tex] si ha:
[tex]$I_{2l+1}=\frac{2l}{2l+1}\ I_{2l-1}$[/tex]
[tex]$=\frac{2l\ (2l-2)}{(2l+1)\ (2l-1)}\ I_{2l-3}$[/tex]
[tex]$=\frac{2l\ (2l-2)\ (2l-4)}{(2l+1)\ (2l-1)\ (2l-3)}\ I_{2l-5}$[/tex]
[tex]$=\ldots$[/tex]
[tex]$=\frac{2l\ (2l-2)\ (2l-4)\cdots\ 4\ 2}{(2l+1)\ (2l-1)\ (2l-3)\cdots\ 5\ 3}\ I_1$[/tex]
[tex]$=\frac{(2l)!!}{(2l+1)!!}\ I_1$[/tex]
[tex]$=2\ \frac{(2l)!!}{(2l+1)!!}$[/tex].
Poi volendo puoi tener presente che [tex]$(2l)!!=2^l\ l!$[/tex] e che [tex]$(2l+1)!!$[/tex] si può ricondurre ad una produttoria carina, ma non pernso ce ne sia bisogno.
ok il risultato in forma di prodotti mi torna,
abbiamo detto la stessa cosa solo che io non so cosa sia quel doppio fattoriale e quindi non l'avevo usato...
mi pare di intuire che sia il fattoriale, un fattore si e uno no...
Grazie, decisivo come al solito
abbiamo detto la stessa cosa solo che io non so cosa sia quel doppio fattoriale e quindi non l'avevo usato...
mi pare di intuire che sia il fattoriale, un fattore si e uno no...
Grazie, decisivo come al solito
Per definizione:
[tex]$n!!:=\text{prodotto di tutti i naturali $\leq n$ aventi la stessa parità di $n$}$[/tex],
ovvero [tex]$n!!$[/tex] è il prodotto di tutti i numeri dispari [risp. pari] [tex]$\leq n$[/tex] se [tex]$n$[/tex] è dispari [risp. pari].
Ad esempio:
[tex]$8!!=8\ 6\ 4\ 2$[/tex] e [tex]$9!!=9\ 7\ 5\ 3\ 1$[/tex].
[tex]$n!!:=\text{prodotto di tutti i naturali $\leq n$ aventi la stessa parità di $n$}$[/tex],
ovvero [tex]$n!!$[/tex] è il prodotto di tutti i numeri dispari [risp. pari] [tex]$\leq n$[/tex] se [tex]$n$[/tex] è dispari [risp. pari].
Ad esempio:
[tex]$8!!=8\ 6\ 4\ 2$[/tex] e [tex]$9!!=9\ 7\ 5\ 3\ 1$[/tex].
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