Integrale di seconda specie
Calcolare $int F · T ds$ ,
essendo $F(x, y, z) = (y^2 + z^2, z^2 + x^2, x^2 + y^2)$, per ogni $(x, y, z) ∈ R^3$, e $γ$ avente sostegno ${(x, y, z) ∈ R^3: x^2 + y^2 + z^2 = 4x, x^2 + y^2 = 2x, z > 0}$ percorso una volta in senso antiorario.
Perdonate eventuali castronerie, ma ho ragionato così:
per prima cosa verifico se il campo è conservativo, cosa impossibile perché non è irrotazionale.
in secundis ho provato a parametrizzare la curva senza successo
ho capito che dovrebbe essere l'intersezione tra una semisfera e un cilindro!
grazie in anticipo
essendo $F(x, y, z) = (y^2 + z^2, z^2 + x^2, x^2 + y^2)$, per ogni $(x, y, z) ∈ R^3$, e $γ$ avente sostegno ${(x, y, z) ∈ R^3: x^2 + y^2 + z^2 = 4x, x^2 + y^2 = 2x, z > 0}$ percorso una volta in senso antiorario.
Perdonate eventuali castronerie, ma ho ragionato così:
per prima cosa verifico se il campo è conservativo, cosa impossibile perché non è irrotazionale.
in secundis ho provato a parametrizzare la curva senza successo
ho capito che dovrebbe essere l'intersezione tra una semisfera e un cilindro!grazie in anticipo
Risposte
Parametrizzando il cilindro in coordinate polari:
$$x(t)=1+\cos t,\ y(t)=\sin t,\ z=z(t)$$
(visto che è centrato in $(1,0)$) e sostituendo nell'equazione della sfera si ha
$$2x(t)+z^2(t)=4x(t)\ \Rightarrow\ z^2(t)=2x(t)\ \Rightarrow\ z(t)=\sqrt{2(1+\cos t)}$$
dal momento che $z>0$. Ovviamente $t\in[0,2\pi]$ (perché?).
$$x(t)=1+\cos t,\ y(t)=\sin t,\ z=z(t)$$
(visto che è centrato in $(1,0)$) e sostituendo nell'equazione della sfera si ha
$$2x(t)+z^2(t)=4x(t)\ \Rightarrow\ z^2(t)=2x(t)\ \Rightarrow\ z(t)=\sqrt{2(1+\cos t)}$$
dal momento che $z>0$. Ovviamente $t\in[0,2\pi]$ (perché?).
direi che $t∈[0, 2π]$ perché, guardando la parametrizzazione del cilindro, la $x(t)$ e la $y(t)$ ne parametrizzano una sezione ortogonale all'asse $z$, e quindi una circonferenza, da cui si ottiene l'intervallo di variazione cercato
grazie mille!
grazie mille!
scusate se mi intrufolo .. ma una curiosità..
con il teorema della divergenza.. mi viene $ \text{div F} = 0 $
quindi a meno che l'integrale non venga 0..ma mi pare strano.. quindi cerco altre strade
allora ho pensato.. provo con il teorema del rotore..
è quello che state facendo esatto/applicando giusto?..
con il teorema della divergenza.. mi viene $ \text{div F} = 0 $
quindi a meno che l'integrale non venga 0..ma mi pare strano.. quindi cerco altre strade
allora ho pensato.. provo con il teorema del rotore..
è quello che state facendo esatto/applicando giusto?..
ciao, purtroppo non ho ancora affrontato nessuno di quei teoremi, quindi non ti so aiutare. riguardo la risoluzione di esercizi del genere abbiamo visto solo la "scorciatoia" della forma differenziale esatta/del campo conservativo in alternativa ad applicare direttamente la definizione di integrale di 2^ specie. magari qualcuno ti saprà aiutare di più!
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