$∫$ Integrale di Riemann

[Flamber]

Ho qualche problema con alcume definizioni collegate alla definizione di integrale che ne diede Riemann.

Il capitolo inizia con la definizione di funziona a scala, e con la defizonione di integrale definito:

$int_If=\sum_{k=1}^nc_k(x_k-x_(k-1))$

Poi enuncia la proprietà (decisamente intuitiva) di monotonia dell'integrale:

$g(x)≤h(x) rArr$ $∫_Ig$$≤$$∫_If$

il problema arriva (personalmente!) le seguenti definizioni:

$S^+_f={hinS[a,b]:f(x)≤h(x), forall(x)in[a,b]}$ (funzioni a scala maggioranti di $f$ )

$S^-_f={hinS[a,b]:g(x)≤f(x), forall(x)in[a,b]}$ (funzioni a scala minoranti di $f$ )

ovviamente capisco cosa c'è scritto, non riesco però "cosa voglia dirmi". Sarebbe interessante se qualcuno mi facesse un esempio.

Stesso discorso vale per la definizione di integrale superiore ed inferiore secondo Riemann. Non riesco a scrivere la formula con ASCIIMathML e TeX, ma dovrebbe essere una definizione standard. Qualcuno può aiutarmi?

[5mrkv]

Puoi disegnare le funzioni maggioranti come funzioni a scala al di sopra del grafico di \(f\). Ovviamente le minoranti stanno sotto. Usando gradini sempre più piccoli sia con la funzione funzione maggiorante sia con quella minorante si approssima la funzione \(f\) sempre meglio.

Le funzioni a gradino individuano dei rettangoli, se le disegni lo vedi. Se la somma dei rettangoli inferiori è uguale a quella dei rettangoli superiori per funzioni a gradino infinitamente fini allora questo numero è detto integrale di Riemann. Questa è grosso modo l'idea.

[Flamber]

E perchè ciò dovrebbe "perfezionare" la definizione di Cauchy? cosa ci da in più? in quale caso può tornarci utile insomma?

[5mrkv]

Non lo so.

[Flamber]

Penso di esserci arrivato grazie alla tua spiegazione ed un po' rileggendo il libro. Penso, a meno di errori, che aggiunga la possibilità di integrare le funzioni continue a tratti su $[a,b]$.