Integrale di radice

[Alpha881]

Buon pomeriggio a tutti oggi ha lezione il professore ci ha assegnato questo integrale. Mi è stato detto che lo posso risolvere per sostituzione. Ma cosa sostituisco se non è presente la sua derivata a meno di fattori costanti?

$int sqrt (1-3x^2) dx$

Qualcuno mi aiuta a capire come fare?

[Gi81]

Fai la sostituzione $y= sqrt3x$. Cosa ottieni?

[Alpha881]

Se i miei conti sono giusti dovrei avere
$y=sqrt(3)x => x=y/sqrt3$
sostituendo
$intsqrt(1-3(y/sqrt(3))^2) dy => intsqrt(1-y^2) dy$ che è un integrale immediato
Giusto?

[Gi81]

1) hai dimenticato di trasformare $dx$ in $dy$. Si ha $dx = 1/sqrt3 dy$, dunque l'integrale diventa $1/sqrt3 int sqrt{1-y^2} dy$
2) non è proprio immediato. Io lo risolverei facendo un'altra sostituzione. Riesci a "vedere" quale?

[Alpha881]

Potrei scrivere $1/sqrt3 int (1-y^2)^(1/2)$ oppure è una sostituzione che riguarda la $y$?

[Gi81]

E' una sostituzione che riguarda la $y$. Ciò che hai fatto tu è scrivere l'espressione in un altro modo equivalente

[Alpha881]

Allora non saprei! Oggi è stata la seconda lezione sugli integrali e non sono ancora molto ferrato!

[Gi81]

Poniamo $t= arcsin(y)$. Si ha $y=sin(t)$, da cui $dy = cos(t) dt$.
L'integrale diventa $1/sqrt3 int sqrt{1-sin^2(t)}*cos(t) dt = 1/sqrt3 int cos(t)*cos(t) dt= 1/sqrt3 int cos^2(t) dt$

[Alpha881]

Ma queste sostituzioni hanno qualche regola oppure diciamo che sono ad "occhio"?

[Gi81]

Diciamo che sono ad "occhio". Si imparano bene facendo tanti esercizi.
In teoria, uno potrebbe fare qualunque sostituzione si preferisca. Però bisogna scegliere bene: la sostituzione deve permettere di arrivare a qualcosa di più semplice, se no è come tirarsi la zappa sui piedi.

[Alpha881]

In effetti. Adesso provo a risolvere l'integrale ottenuto per parti e vediamo se riesco ad uscirmene da questo mio dilemma!