Integrale di questa funzione : $x^3* arc sen x/sqrt(1+x^2)$
$x^3* arc sen x/sqrt(1+x^2) $
Ho provato per parti ma mentre la primitiva è banale la parte da derivare diventa abbastanza complessa da portarsela dietro.
Ho provato per sostituzione in vari modi ma non arrivo a nessuna conclusione positiva.
Ho provato per esempio semplicemente a porre :
$sqrt (1+x^2) = t $
oppure $ 1/sqrt(1+x^2) = t $
oppure $ x/sqrt(1+x^2) = t$
ma in tutti e tre i casi il proseguo è molto arduo.
Grazie.
Ho provato per parti ma mentre la primitiva è banale la parte da derivare diventa abbastanza complessa da portarsela dietro.
Ho provato per sostituzione in vari modi ma non arrivo a nessuna conclusione positiva.
Ho provato per esempio semplicemente a porre :
$sqrt (1+x^2) = t $
oppure $ 1/sqrt(1+x^2) = t $
oppure $ x/sqrt(1+x^2) = t$
ma in tutti e tre i casi il proseguo è molto arduo.
Grazie.
Risposte
ANTONELLI, la strada da seguire è quella della integrazione per parti.
Infatti considerando $f'(x)=x^3$ e $g(x)=sin^-1(x/sqrt(1+x^2))$, tu dici che la difficoltà nasce nella derivazione di $g(x)$.
Ma non mi pare che sia molto complicata la derivata.
Posto $(x/sqrt(1+x^2))=f(t)$
ottengo: che la derivata di $sin^-1(f(t))$ è eguale a $(1/sqrt(1-f(t)))*f'(t)$
Fatti gli opportuni calcoli e semplificando dà come risultato $1/(1+x^2)$, e moltiplicato per $1/4*x^4$ (integrale di $f'(x)=x^3$) mi risulta essere eguale a $x^4/(1+x^2)$ a parte la costante $1/4$. Tale funzione si integra facilmente facendo prima la divisione. Ciao
Infatti considerando $f'(x)=x^3$ e $g(x)=sin^-1(x/sqrt(1+x^2))$, tu dici che la difficoltà nasce nella derivazione di $g(x)$.
Ma non mi pare che sia molto complicata la derivata.
Posto $(x/sqrt(1+x^2))=f(t)$
ottengo: che la derivata di $sin^-1(f(t))$ è eguale a $(1/sqrt(1-f(t)))*f'(t)$
Fatti gli opportuni calcoli e semplificando dà come risultato $1/(1+x^2)$, e moltiplicato per $1/4*x^4$ (integrale di $f'(x)=x^3$) mi risulta essere eguale a $x^4/(1+x^2)$ a parte la costante $1/4$. Tale funzione si integra facilmente facendo prima la divisione. Ciao
Per parti... E la derivata di quell'arcoseno è anche abbastanza "scema"...
[mod="gugo82"]@pasplu: Innanzitutto, evita di fornire la "pappa pronta" agli utenti che chiedono cose "banali" (soprattutto in periodo d'esami e di mattina, cfr. regolamento 1.6).
Inoltre esistono il pulsante MODIFICA, per editare i post scritti male, ed il pulsante CANCELLA, per i post da eliminare: in futuro usali (stavolta ho provveduto io).[/mod]
[mod="gugo82"]@pasplu: Innanzitutto, evita di fornire la "pappa pronta" agli utenti che chiedono cose "banali" (soprattutto in periodo d'esami e di mattina, cfr. regolamento 1.6).
Inoltre esistono il pulsante MODIFICA, per editare i post scritti male, ed il pulsante CANCELLA, per i post da eliminare: in futuro usali (stavolta ho provveduto io).[/mod]
Nel frattempo avevo riprovato a fare la derivata di :
$sin^(-1) (x/sqrt((1+x^2)) )$ ed in effetti non era poi così difficile anche perchè si semplificava la parte con la radice e pertanto veniva fuori proprio :
$ D(f(x)) = 1/(1+x^2)$
e pertanto l'integrale si risolve a questo punto banalmente come :
$x^4/4* sin^(-1) (x/(1+x^2)) - 1/4 * int_( )^( ) x^4/(1+x^2) $
riguardo a quest'ultimo integrale faccio la divisione fra due polinomi ottenendo :
$ x^2 - 1 + 1/(1+x^2) $ dove la frazione è proprio la primitiva della $ tang^(-1)$ e quindi l'integrale è risolto.
Abbiamo questo risultato:
$x^4/4*arc sin (x/(sqrt(1+x^2))) - x^3/(12) +x/4 - 1/4 * (arc tang x) + C $
Grazie tante .
$sin^(-1) (x/sqrt((1+x^2)) )$ ed in effetti non era poi così difficile anche perchè si semplificava la parte con la radice e pertanto veniva fuori proprio :
$ D(f(x)) = 1/(1+x^2)$
e pertanto l'integrale si risolve a questo punto banalmente come :
$x^4/4* sin^(-1) (x/(1+x^2)) - 1/4 * int_( )^( ) x^4/(1+x^2) $
riguardo a quest'ultimo integrale faccio la divisione fra due polinomi ottenendo :
$ x^2 - 1 + 1/(1+x^2) $ dove la frazione è proprio la primitiva della $ tang^(-1)$ e quindi l'integrale è risolto.
Abbiamo questo risultato:
$x^4/4*arc sin (x/(sqrt(1+x^2))) - x^3/(12) +x/4 - 1/4 * (arc tang x) + C $
Grazie tante .
Non mi pare che la primitiva sia quella... Manca qualcosa.
Pardon mi ero dimenticato la radice. Ma sinceramente l'avevo scritta. Solo non l'avevo riportata bene. Non sono ancora molto pratico nello scrivere le formule nel linguaggio comprensibile e spesso perdo i pezzi.
Grazie.
Roberto.
Grazie.
Roberto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo