Integrale di linea di prima specie (teoria)

[cechuz]

avrei un dubbio sull'integrale di linea di prima specie. Dunque, questo integrale è il valore reale dato da: $ int_(a)^(b) f(phi(t))||phi'(t)|| dt $ e se la curva è regolare vale $ int_(gamma) f ds $ dove la coppia $ (gamma,phi) $ identifica la curva di sostegno $gamma$ parametrizzata da $phi$. Ora $ds= ||phi'(t)|| dt $ e questo non mi è tanto chiaro. So che s è l'ascissa curvilinea, e so che quando si sceglie l'ascissa curvilinea come parametrizzazione di una curva regolare si ha che il vettore tangente corrisponde in modulo al versore tangente, ossia vale 1. Quindi avevo pensato che, poichè $s=int_(0)^(l)|| phi'(t)||dt $ allora $ds=||phi'(t)||=1$ e pertanto la formula si riduce $ int_(gamma) f ds $ dove $gamma$ è la lunghezza della curva, che coincide con la curva stessa. Ma di questa mia conclusione non sono tanto certa.
Inoltre ho trovato su diverse dispense che effettuano una divisione tra i due concetti, ovvero prima affermano che $ int_(a)^(b) f(phi(t))||phi'(t)|| dt =int_(gamma) f ds $ e poi come osservazione, dal momento che nell'integrale curvilineo non conta la parametrizzazione, se si sceglie s come parametro (con s ascissa curvilinea) allora l'integrale si riduce a $ int_(0)^(l(phi)) f(phi(s)) ds $. Ma a questo punto, se così fosse, non riesco a spiegarmi come mai vale $ int_(gamma) f ds $

[gugo82]

Non capisco cosa tu voglia sapere/non capisca… Nel dubbio, ti lascio questo link.