Integrale di linea : correzione
Ciao a tutti ,
devo calcolare $int_\gamma x^2 + y^2 ds$ con $\gamma$ data in coordinate polare $\rho=e^(2\theta)$ , $\theta \in (-\infty,0]$. Ho fatto così :
$\gamma(\theta) = (e^(2\theta)cos\theta , e^(2\theta)sen\theta)$
$\gamma'(\theta) = (2e^(2\theta)cos\theta -e^(2\theta)sen\theta , 2e^(2\theta)sen\theta +e^(2\theta)cos\theta)$
$|\gamma'(theta)| = sqrt(5) e^(2\theta)$. (potrei aver sbagliato i calcoli).
$f(\gamma(\theta))=e^(4\theta^2)$.
E' mattina presto e mi stanno venendo degli svarioni sulle potenze ..non scannatemi se sto per scrivere , o ho scritto , diavolerie...
Ottengo :
$sqrt(5) int_(-infty)^0 e^(4\theta^2 +2\theta ) d\theta$ ..e poi
devo calcolare $int_\gamma x^2 + y^2 ds$ con $\gamma$ data in coordinate polare $\rho=e^(2\theta)$ , $\theta \in (-\infty,0]$. Ho fatto così :
$\gamma(\theta) = (e^(2\theta)cos\theta , e^(2\theta)sen\theta)$
$\gamma'(\theta) = (2e^(2\theta)cos\theta -e^(2\theta)sen\theta , 2e^(2\theta)sen\theta +e^(2\theta)cos\theta)$
$|\gamma'(theta)| = sqrt(5) e^(2\theta)$. (potrei aver sbagliato i calcoli).
$f(\gamma(\theta))=e^(4\theta^2)$.
E' mattina presto e mi stanno venendo degli svarioni sulle potenze ..non scannatemi se sto per scrivere , o ho scritto , diavolerie...
Ottengo :
$sqrt(5) int_(-infty)^0 e^(4\theta^2 +2\theta ) d\theta$ ..e poi
Risposte
Ciao Previ, ti seguo sempre volentieri e approfitto del tuo interesse per rispolverare qualcosa (sotto la polvere però c'è poco), in realtà vorrei farti più che altro delle domande:
Integrale di linea significa che voglio calcolare la lunghezza della linea $gamma$ lungo la superficie $f(x;y)=x^2+y^2$?
Questa superficie mi sembra un paraboide il cui vertice coincide con l'origine degli assi e le cui sezioni perpendicolari all'asse z sono delle circonferenze. La linea $gamma$ faccio più fatica a visualizzarla, aiutami tu: quando $theta$ tende a $-oo$ la distanza $rho$ tende a 0 e quindi la nostra linea inizia dall'origine (origine esclusa), poi vediamo dove finisce: quando $theta$ vale 0 $rho$ vale 1 ma lungo il paraboloide c'è una intera circonferenza lungo la quale la distanza dall'origine vale 1, se non ho sbagliato i conti siamo a quota $z=(sqrt5-1)/2$. Se non ho interpretato male il punto del paraboloide a quota $z=(sqrt5-1)/2$ dove finisce la nostra linea è quello subito sopra il semiasse x positivo.
Ho l'impressione che la nostra linea si arrampichi sul paraboloide lungo una spirale, quando $theta$ aumenta, aumenta anche $rho$.
Cosa ne dici?
Integrale di linea significa che voglio calcolare la lunghezza della linea $gamma$ lungo la superficie $f(x;y)=x^2+y^2$?
Questa superficie mi sembra un paraboide il cui vertice coincide con l'origine degli assi e le cui sezioni perpendicolari all'asse z sono delle circonferenze. La linea $gamma$ faccio più fatica a visualizzarla, aiutami tu: quando $theta$ tende a $-oo$ la distanza $rho$ tende a 0 e quindi la nostra linea inizia dall'origine (origine esclusa), poi vediamo dove finisce: quando $theta$ vale 0 $rho$ vale 1 ma lungo il paraboloide c'è una intera circonferenza lungo la quale la distanza dall'origine vale 1, se non ho sbagliato i conti siamo a quota $z=(sqrt5-1)/2$. Se non ho interpretato male il punto del paraboloide a quota $z=(sqrt5-1)/2$ dove finisce la nostra linea è quello subito sopra il semiasse x positivo.
Ho l'impressione che la nostra linea si arrampichi sul paraboloide lungo una spirale, quando $theta$ aumenta, aumenta anche $rho$.
Cosa ne dici?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo