Integrale di linea con ellisse
Ciao ragazzi sto per risolvere questo integrale, ma avrei bisogno di un confronto diretto con qualcuno più bravo di me. Se non vi rubo molto tempo, spero che possiate dedicarvi un pò all'esercizio divertentissimo! 
Sia $Gamma$ un'ellisse di semiassi $a=1$ $b=2$ centrata nell'origine $(0,0)$. Quanto vale il seguente integrale?
$\int_Gamma (x^2 + y^2)^(1/2) ds$
Sia $Gamma$ un'ellisse di semiassi $a=1$ $b=2$ centrata nell'origine $(0,0)$. Quanto vale il seguente integrale?
$\int_Gamma (x^2 + y^2)^(1/2) ds$
Risposte
Ragazzi mi viene un integrale pazzesco:
$int_(0)^(2pi) (1+3sin^2 (t))^(1/2) (1+3cos^2 (t))^(1/2) dt$
Questo dopo aver parametrizzato l'ellisse e aver calcolato la norma...
Possibile che deve venire così? Se si, come lo risolvereste questo integrale?
$int_(0)^(2pi) (1+3sin^2 (t))^(1/2) (1+3cos^2 (t))^(1/2) dt$
Questo dopo aver parametrizzato l'ellisse e aver calcolato la norma...
Possibile che deve venire così? Se si, come lo risolvereste questo integrale?
Allora io ho parametrizzato così:
$x=a cos(t)$ e $y=b sin(t)$ con $a=1$ e $b=2$ e $t in [0,2pi]$
Poi mi sono calcolato la norma:
$varphi'(t)=(-sin(t),2cos(t)) rArr || ( varphi'(t)) ||= (1+3cos^2 (t))^(1/2) $
$x=a cos(t)$ e $y=b sin(t)$ con $a=1$ e $b=2$ e $t in [0,2pi]$
Poi mi sono calcolato la norma:
$varphi'(t)=(-sin(t),2cos(t)) rArr || ( varphi'(t)) ||= (1+3cos^2 (t))^(1/2) $
Lascia stare, è un integrale ellittico di quelli orrendi, per cui rischi di morire giovane a provarci. Come mai sei arrivato a tale integrale? Da cosa viene fuori?
"ciampax":
Lascia stare, è un integrale ellittico di quelli orrendi, per cui rischi di morire giovane a provarci. Come mai sei arrivato a tale integrale? Da cosa viene fuori?
Be dopo aver parametrizzato la parabola ed aver scritto l'integrale sostituendo ad $x$ e $y$, e aver calcolato la norma, viene un integrale del genere, è un integrale di linea di quella funzione sulla frontiera di un ellisse, se mi dici che è difficile lo lascio stare, non mi interessa fare cose troppo difficili, è già tanto se faccio quelle più facili!
No, aspetta, vuoi dire che la traccia dell'esercizio è : calcolare il seguente integrale (patapìm e patapàm)? Mmmm, allora un modo per calcolarlo dovresti trovarlo, tantopiù che quell'integrale fa zero.
Sinceramente non riesco proprio, provando per sostituzione? Per parti? Non trovo il modo di risolverlo...
Alla fine non è molto importante (spero), dovrebbe essere un caso isolato un integrale diciamo con questa difficoltà.
Ovvio che se qualcuno può darmi un consiglio, sarei comunque molto contento
Alla fine non è molto importante (spero), dovrebbe essere un caso isolato un integrale diciamo con questa difficoltà.
Ovvio che se qualcuno può darmi un consiglio, sarei comunque molto contento
Io ragionerei su come si comporta la funzione sull'intervallo $[0,2\pi]$. Ma ripeto: cercare di eseguire un calcolo diretto è un procedimento lungo e doloroso.
Mi stai dicendo che si potrebbe aggirare l'ostacolo integrale? Io non sono molto capace di andare fuori dagli schemi, almeno non con la conoscenza che ho sugli integrali di linea...
A prescindere dal fatto che l'integrale è difficile, a me più che altro interessa sapere se il ragionamento che ho seguito per ricavare l'integrale dalla sua "forma originaria" è corretto o meno. Se sapessi di aver sbagliato e cosa, saprei correggermi, ecco perchè mi rivolgo a voi, per avere un confronto...
Cioè per esempio la norma è giusta? Ho fatto la derivata prima delle coordinate cambiate di variabile.
Cioè per esempio la norma è giusta? Ho fatto la derivata prima delle coordinate cambiate di variabile.
Ah sì, quei conti sono fatti bene.
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