Integrale di Linea
Ciao a tutti
mi trovo davanti a questo esercizio che mi da qualche problema
il testo dice
Sia [tex]G := \{ x=(x_{1},x_{2}) \in \mathbb{R} | 1 \leq x_{1} \leq 2, x_{1} \leq x_{2} \leq x_{1}^{2} \}[/tex]
Il campo vettoriale [tex]v: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex] sia definito come [tex]v(x) = (x_{1}^{2}x_{2}^{-1})^{T}[/tex]
Calcolare [tex]\displaystyle\oint_{K} v(x) dx[/tex] dove $K$ é il bordo [tex]\partial G[/tex] di $G$ percorso una volta in senso orario.
So come calcolare normalmente un integrale di linea, ma in questo caso non risco a capire come determinare la forma parametrica della linea $K$.
Ad intuito mi verrebbe da pensare che la lina sia un'ellisse, ma per prima cosa non ne sono sicuro, e seconda cosa non riesco a capire come ricavarne l'equazione
Qualcuno potrebbe darmi uno spunto?
[xdom="gugo82"]Sezione sbagliata.
Per stavolta non chiudo (mi limito a spostare), però sta' più attento la prossima volta.[/xdom]
mi trovo davanti a questo esercizio che mi da qualche problema
il testo dice
Sia [tex]G := \{ x=(x_{1},x_{2}) \in \mathbb{R} | 1 \leq x_{1} \leq 2, x_{1} \leq x_{2} \leq x_{1}^{2} \}[/tex]
Il campo vettoriale [tex]v: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex] sia definito come [tex]v(x) = (x_{1}^{2}x_{2}^{-1})^{T}[/tex]
Calcolare [tex]\displaystyle\oint_{K} v(x) dx[/tex] dove $K$ é il bordo [tex]\partial G[/tex] di $G$ percorso una volta in senso orario.
So come calcolare normalmente un integrale di linea, ma in questo caso non risco a capire come determinare la forma parametrica della linea $K$.
Ad intuito mi verrebbe da pensare che la lina sia un'ellisse, ma per prima cosa non ne sono sicuro, e seconda cosa non riesco a capire come ricavarne l'equazione
Qualcuno potrebbe darmi uno spunto?
[xdom="gugo82"]Sezione sbagliata.
Per stavolta non chiudo (mi limito a spostare), però sta' più attento la prossima volta.[/xdom]
Risposte
Ciao Summerwind78. Il bordo è costituito da $3$ tratti distinti:
1. Il tratto che giace sulla retta di equazione $x_1=2$ che va dal punto $(2,4)$ al punto $(2,2)$.
2. Il tratto che giace sulla retta di equazione $x_2=x_1$ che va dal punto $(2,2)$ al punto $(1,1)$.
3. Il tratto che giace sulla parabola di equazione $x_2=x_1^2$ che va dal punto $(1,1)$ al punto $(2,4)$.
In ogni modo, il campo vettoriale dovrebbe avere $2$ componenti. Hai per caso dimenticato una virgola?
1. Il tratto che giace sulla retta di equazione $x_1=2$ che va dal punto $(2,4)$ al punto $(2,2)$.
2. Il tratto che giace sulla retta di equazione $x_2=x_1$ che va dal punto $(2,2)$ al punto $(1,1)$.
3. Il tratto che giace sulla parabola di equazione $x_2=x_1^2$ che va dal punto $(1,1)$ al punto $(2,4)$.
In ogni modo, il campo vettoriale dovrebbe avere $2$ componenti. Hai per caso dimenticato una virgola?
@gugo82: Pardon, non me ne sono accorto
@speculor:
si mi sono sbagliato, ho dimenticato un pezzo. la forma corretta è [tex](x_{1}^{2}x_{2}^{-1},0)^{T}[/tex]
mi spieghi meglio come hai ragionato per trovare quei punti, mi sto perdendo qualcosa
@speculor:
si mi sono sbagliato, ho dimenticato un pezzo. la forma corretta è [tex](x_{1}^{2}x_{2}^{-1},0)^{T}[/tex]
mi spieghi meglio come hai ragionato per trovare quei punti, mi sto perdendo qualcosa
Basta rappresentare il dominio piano come intersezione di $2$ insiemi: $[1<=x_1<=2]$ è una striscia verticale, $[x_1<=x_2<=x_1^2]$ è la zona compresa tra la bisettrice $[x_2=x_1]$ e la parabola $[x_2=x_1^2]$. In ogni modo, il calcolo di quell'integrale curvilineo dovrebbe essere più agevole utilizzando la formula di Gauss-Green.
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