Integrale di linea
Salve. Si presenta il seguente integrale di linea. Quando non è specificato, come in questo caso, se si tratta di un integrale di prima o di seconda specie, come lo risolvo (di prima o di seconda)?
$int_lambda (xdx+ydy)/(1+x^2+y^2)^(1/2)$
Sull'ellisse lambda: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ percorsa in senso antiorario nel primo quadrante.
Da quanto ho studiato, dovrei parametrizzare la curva data e capire da quale valore a quale valore varia il parametro e quei valori sono poi gli estremi d'integrazione. Solo che qui non ho punti. Potrei usare le coordinate polari? Come mi comporto?
$int_lambda (xdx+ydy)/(1+x^2+y^2)^(1/2)$
Sull'ellisse lambda: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ percorsa in senso antiorario nel primo quadrante.
Da quanto ho studiato, dovrei parametrizzare la curva data e capire da quale valore a quale valore varia il parametro e quei valori sono poi gli estremi d'integrazione. Solo che qui non ho punti. Potrei usare le coordinate polari? Come mi comporto?
Risposte
Un integrale di una forma differenziale, cioè di un oggetto del tipo $P\ dx+Q\ dy$ con $A,B$ funzioni dipendenti da $x,y$ è per definizione un integrale di linea di seconda specie (vai a riguardare la definizione).
Il procedimento che vuoi utilizzare è corretto, la parametrizzazione adeguata è
$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t$$
Per i punti iniziali e finali hai tutte le informazioni: devi stare nel primo quadrante e percorrere la curva in senso antiorario. Per cui dovrai partire dal punto di coordinate $A(a,0)$, vertice dell'ellisse sull'asse x positivo, e arrivare fino al punto $B(0,b)$, vertice della stessa sull'asse delle y positivo. Inoltre, i valori del parametro andranno scelti nell'intervallo $[0,\pi/2]$ (lascio a te capire il perché).
TUTTAVIA, in questi casi, è conveniente ragionare in modo più rapido: dovresti aver studiato che una forma differenziale può essere esatta, cioè essere il differenziale di una funzione: detto in termini matematici, se $\omega=P\ dx+Q\ dy$ è esatta, allora esiste una funzione $f(x,y)$ tale che $df=\omega$ o, più precisamente, $P=\frac{\partial f}{\partial x},\ Q=\frac{\partial f}{\partial y}$ e condizione affinché ciò avvenga è che sia $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. In questo caso è abbastanza facile vedere che, avendosi
$$P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}},\qquad Q=\frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}$$
ed essendo
$$\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{xy}{\sqrt{(1+x^2+y^2)^3}}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$
la funzione che soddisfa alle condizioni richieste è la seguente
$$f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}$$
(sapresti ricavarla?). Qual è il vantaggio? Bé, in tal caso l'integrale si semplifica al modo seguente: se il valore di $t\in[\alpha,\beta]$ ti permette di passare dal punto $A$ al punto $B$ (di cui sono note le coordinate), ottieni
$$\int_{\alpha}^\beta \omega=\int_\alpha^\beta df=f(B)-f(A)$$
cioè è sufficiente calcolare la differenza dei valori che la funzione $f$ assume nei due punti per determinare il valore dell'integrale della forma.
Lascio a te i dettagli dei calcoli.
Il procedimento che vuoi utilizzare è corretto, la parametrizzazione adeguata è
$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t$$
Per i punti iniziali e finali hai tutte le informazioni: devi stare nel primo quadrante e percorrere la curva in senso antiorario. Per cui dovrai partire dal punto di coordinate $A(a,0)$, vertice dell'ellisse sull'asse x positivo, e arrivare fino al punto $B(0,b)$, vertice della stessa sull'asse delle y positivo. Inoltre, i valori del parametro andranno scelti nell'intervallo $[0,\pi/2]$ (lascio a te capire il perché).
TUTTAVIA, in questi casi, è conveniente ragionare in modo più rapido: dovresti aver studiato che una forma differenziale può essere esatta, cioè essere il differenziale di una funzione: detto in termini matematici, se $\omega=P\ dx+Q\ dy$ è esatta, allora esiste una funzione $f(x,y)$ tale che $df=\omega$ o, più precisamente, $P=\frac{\partial f}{\partial x},\ Q=\frac{\partial f}{\partial y}$ e condizione affinché ciò avvenga è che sia $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. In questo caso è abbastanza facile vedere che, avendosi
$$P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}},\qquad Q=\frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}$$
ed essendo
$$\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{xy}{\sqrt{(1+x^2+y^2)^3}}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$
la funzione che soddisfa alle condizioni richieste è la seguente
$$f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}$$
(sapresti ricavarla?). Qual è il vantaggio? Bé, in tal caso l'integrale si semplifica al modo seguente: se il valore di $t\in[\alpha,\beta]$ ti permette di passare dal punto $A$ al punto $B$ (di cui sono note le coordinate), ottieni
$$\int_{\alpha}^\beta \omega=\int_\alpha^\beta df=f(B)-f(A)$$
cioè è sufficiente calcolare la differenza dei valori che la funzione $f$ assume nei due punti per determinare il valore dell'integrale della forma.
Lascio a te i dettagli dei calcoli.
@ciampax
[ot]ciao ciampax non riesco a trovare molto sull'integrazione di forme differenziali. Conosci qualche libro che ne parla in maniera carina(anche inglese)? A volte io integro su una delle variabili e aggiungo una funzione che dipende dalle altre
[/ot]
[ot]ciao ciampax non riesco a trovare molto sull'integrazione di forme differenziali. Conosci qualche libro che ne parla in maniera carina(anche inglese)? A volte io integro su una delle variabili e aggiungo una funzione che dipende dalle altre
[/ot]
Se non ti disturba leggere in inglese, ce ne sono un bel po', dipende da quale livello vuoi raggiungere. Un libro fatto bene è "differential forms" di Do Carmo, mentre quello che io reputo il più completo (anche perché riscrive in modo moderno le notazioni di Cartan e Poincarè) è "Differential forms and connections" di Darling.
Allora intanto ti ringrazio molto per la spiegazione e mi scuso per la risposta assai tardiva. Come mai è da considerare da 0 a pi/2? La nozione di differenziale esatto non rientrava nel programma purtroppo, però sono interessato e me lo studierò. Pertanto, no non saprei ricavare quell'equazione che soddisfa la condizione.
Volendo parametrizzare, come avresti proceduto?
Volendo parametrizzare, come avresti proceduto?
"anto_zoolander":
@ciampax
[ot]ciao ciampax non riesco a trovare molto sull'integrazione di forme differenziali. Conosci qualche libro che ne parla in maniera carina(anche inglese)? A volte io integro su una delle variabili e aggiungo una funzione che dipende dalle altre
Bott-Tu.
Allora l'angolo va scelto da 0 a pi/2 perché è richiesto di percorrere l'arco di ellisse nel primo quadrante ovviamente (che scemo che sono). Comunque ho chiesto al prof come avrei potuto risolvere l'esercizio e lui mi ha scritto che si può fare $x/a=cos(t)$ e $y/b=sin(t)$, ossia esattamente come avevi scritto tu. Ma non ha fatto presente che si può fare col differenziale: ho dovuto chiederglielo io. E mi sono accorto poi che sostituendo così $dx$ e $dy$ con $dt$ viene una porcheria improponibile.
Grazie mille, ho capito il differenziale esatto: ne farò tesoro. La funzione la troverò, presumo, integrando in x $Pdx$ o in y $Qdy$. Solo una cosa non ho capito: in definitiva $dP/dy=dQ/dx$ equivale a dire che le derivate miste della funzione che stiamo cercando devono essere uguali, dunque, per il teorema di Schwarz, essere continue, no? Ma perché questa condizione per il differenziale esatto?
Grazie mille, ho capito il differenziale esatto: ne farò tesoro. La funzione la troverò, presumo, integrando in x $Pdx$ o in y $Qdy$. Solo una cosa non ho capito: in definitiva $dP/dy=dQ/dx$ equivale a dire che le derivate miste della funzione che stiamo cercando devono essere uguali, dunque, per il teorema di Schwarz, essere continue, no? Ma perché questa condizione per il differenziale esatto?
@killing: me ne ero solo dimenticato, tranquillo, alla fine ho studiato da quelle che mi hai mandato per la maggior parte del tempo 
Quello che vuole dirti ciampax è che se $omega$ è esatta allora semplicemente esiste un campo scalare $U$ tale che il differenziale di $U$ sia $omega$ ossia $dU=omega$
Il bello dell’usare la base canonica di $RR^n$ è che si tratta di una base ortonormale per il prodotto scalare standard pertanto ha senso considerare il campo vettoriale associato $F$ definito in questo modo
Se $omega(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)dx_k$ è la forma
allora $F(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)vec(e_k)$ è il campo vettoriale associato
Con un po’ di smanetti di vede che $dU(x)(h)=nablaf(x)*h$ per tante belle proprietà delle basi ortonormali
Il fatto che una forma sia esatta significa proprio che $omega$ è il differenziale di un campo scalare e di fatto si trova proprio che
Non a caso viene definito
Ossia viene definito come il lavoro compiuto dal campo di forze associato alla forma differenziale.
Quando il campo $omega$ è esatta allora il campo vettoriale ammette un potenziale scalare $U$ e da quello si ha subito che
$L=int_(gamma)omega=int_(a)^(b)nablaU(gamma(t))*gamma’(t)dt=U(gamma(t))|_(a)^(b)=U(gamma(b))-U(gamma(a))$
In particolare se $gamma(a):=alpha$ e $gamma(b)=beta$ allora si perviene al semplice
Ossia che il lavoro compiuto da un campo di forze conservative coincide con la differenza di potenziale nei punti $alpha,beta$
Riassumendo: per calcolare l’ingrale di una forma esatta basta trovare una funzione $f$ tale che il suo gradiente coincida con il campo vettoriale dato dai coefficienti della forma e fare la differenza di $f$ nei due punti
Quello che vuole dirti ciampax è che se $omega$ è esatta allora semplicemente esiste un campo scalare $U$ tale che il differenziale di $U$ sia $omega$ ossia $dU=omega$
Il bello dell’usare la base canonica di $RR^n$ è che si tratta di una base ortonormale per il prodotto scalare standard pertanto ha senso considerare il campo vettoriale associato $F$ definito in questo modo
Se $omega(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)dx_k$ è la forma
allora $F(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)vec(e_k)$ è il campo vettoriale associato
Con un po’ di smanetti di vede che $dU(x)(h)=nablaf(x)*h$ per tante belle proprietà delle basi ortonormali
Il fatto che una forma sia esatta significa proprio che $omega$ è il differenziale di un campo scalare e di fatto si trova proprio che
$omega(x)(h)=U(x)*h=nablaf(x)*h$
Non a caso viene definito
$int_(gamma)omega:=int_(a)^(b)F(gamma(t))*gamma’(t)dt$
Ossia viene definito come il lavoro compiuto dal campo di forze associato alla forma differenziale.
Quando il campo $omega$ è esatta allora il campo vettoriale ammette un potenziale scalare $U$ e da quello si ha subito che
$L=int_(gamma)omega=int_(a)^(b)nablaU(gamma(t))*gamma’(t)dt=U(gamma(t))|_(a)^(b)=U(gamma(b))-U(gamma(a))$
In particolare se $gamma(a):=alpha$ e $gamma(b)=beta$ allora si perviene al semplice
$int_(gamma)omega=U(beta)-U(alpha)$
Ossia che il lavoro compiuto da un campo di forze conservative coincide con la differenza di potenziale nei punti $alpha,beta$
Riassumendo: per calcolare l’ingrale di una forma esatta basta trovare una funzione $f$ tale che il suo gradiente coincida con il campo vettoriale dato dai coefficienti della forma e fare la differenza di $f$ nei due punti
Ah ok, le derivate miste devono coincidere per condizione di irrotazionalità del campo vet. conservativo: per il teorema di Schwartz, le derivate miste di una funzione che ha tali derivate continue debbono coincidere indipendentemente dall'ordine di integrazione. Dunque se le derivate miste non coincidono vuol dire che il modo in cui cambia la variazione del potenziale nelle varie direzioni dello spazio (derivate seconde miste) non è uguale in tutto lo spazio; quindi vorrebbe dire che il lavoro dipenderebbe dal percorso: si avrebbe un campo non conservativo. È un ragionamento corretto? Ma chiedo scusa, se trovando la funzione che ha come gradiente il campo, di fatto trovo la primitiva del campo, a cosa mi serve calcolare l'integrale se, trovando quella funzione che soddisfa il differenziale esatto, ho già trovato il potenziale?
Al contrario: il lavoro svolto da un campo conservativo è indipendente dal cammino che unisce due punti.
Infatti se trovi che il campo è conservativo per calcolare il lavoro di basta sostituire i due punti
Infatti se trovi che il campo è conservativo per calcolare il lavoro di basta sostituire i due punti
"anto_zoolander":
Al contrario: il lavoro svolto da un campo conservativo è indipendente dal cammino che unisce due punti.
Infatti se trovi che il campo è conservativo per calcolare il lavoro di basta sostituire i due punti
Appunto quello che sto dicendo è: la condizione di derivate miste della primitiva (quindi derivate "sovrapposte" del campo vettoriale) uguali è necessaria affinché si abbia campo conservativo, in ultima analisi per il teorema di Schwarz, giusto? Se queste derivate non rispettassero Schwarz, vorrebbe dire che il modo in cui cambia la variazione del lavoro nello spazio non sarebbe uguale in tutto lo spazio e, quindi, in questo ipotetico caso, il lavoro non sarebbe conservativo e la primitiva non potrebbe essere il potenziale, in quanto questo non è ammesso.
Scritto così l’ho capito cosa intendi, allora è si.
Il fatto che le derivate parziali miste debbano coincidere è proprio per questo motivo
Il fatto che le derivate parziali miste debbano coincidere è proprio per questo motivo
Ok bella lì, allora non ho più dubbi sulla relazione tra il significato analitico e quello fisico. Solo un dubbio permane: quello sulla risoluzione con differenziale esatto. Se io trovo la mia $f$ che ha come differenziale esatto la funzione proposta dal testo, e la trovo integrando $P$ in $dx$ o $Q$ in $dy$, a quel punto quella primitiva trovata non sarebbe già il potenziale? Cioè che senso avrebbe calcolarne l'integrale? Così facendo, calcolerei l'integrale del potenziale nella distanza (cosa che non ha alcun senso, perché troverei il logaritmo del potenziale, che non significa nulla). Non dovrei semplicemente sostituire in $f$ i valori della parametrizzazione e calcolare la differenza tra i valori di $f$ nei due punti estremi dell'intervallo in cui varia il parametro?
Ah ma che scemo, lo hai scritto alla fine che non fai l'integrale della primitiva $f$ ma ne calcoli direttamente la differenza. Come non detto. Grazie mille a tutti. Ma ora mi vengono altre curiosità:
- integrale del lavoro (del potenziale in questo caso) nella variabile spostamento darebbe una funzione logaritmica: avrebbe qualche significato fisico?
- Perché il concetto di campo conservativo si applica solo ai campi vettoriali?
- Facendo il gradiente del campo vettoriale conservativo, questo mi dirà come varia il campo lungo la stessa direzione lungo cui era stato calcolato (cioè derivata seconda del potenziale lungo la stessa variabile $U_xx$): mi dice come varia, lungo una direzione, il lavoro che era stato calcolato lungo la stessa direzione, giusto? E' sempre un gradiente, o no?
- Se faccio il rotore di quel campo vettoriale conservativo ottengo un potenziale vettore? Quest'ultimo cosa mi rappresenta fisicamente? La rotazione infinitesima del campo attraverso una superficie (rotazione che, nel caso in questione, dovrebbe essere nulla in quanto il campo per essere conservativo deve essere irrotazionale)? Perché viene chiamato potenziale? Non è mica un lavoro, fisicamente e dimensionalmente parlando.
P.S.: se il parametro anziché variare da $0$ a $π/2$ variasse da $0$ a $π$ vorrebbe dire che il lavoro viene svolto lungo il segmento con velocità doppia?
- integrale del lavoro (del potenziale in questo caso) nella variabile spostamento darebbe una funzione logaritmica: avrebbe qualche significato fisico?
- Perché il concetto di campo conservativo si applica solo ai campi vettoriali?
- Facendo il gradiente del campo vettoriale conservativo, questo mi dirà come varia il campo lungo la stessa direzione lungo cui era stato calcolato (cioè derivata seconda del potenziale lungo la stessa variabile $U_xx$): mi dice come varia, lungo una direzione, il lavoro che era stato calcolato lungo la stessa direzione, giusto? E' sempre un gradiente, o no?
- Se faccio il rotore di quel campo vettoriale conservativo ottengo un potenziale vettore? Quest'ultimo cosa mi rappresenta fisicamente? La rotazione infinitesima del campo attraverso una superficie (rotazione che, nel caso in questione, dovrebbe essere nulla in quanto il campo per essere conservativo deve essere irrotazionale)? Perché viene chiamato potenziale? Non è mica un lavoro, fisicamente e dimensionalmente parlando.
P.S.: se il parametro anziché variare da $0$ a $π/2$ variasse da $0$ a $π$ vorrebbe dire che il lavoro viene svolto lungo il segmento con velocità doppia?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo