Integrale di linea

[petrogass]

Mi sto affacciando agli integrali di linea ma non ho ancora ben capito come funzionano. Devo calcolare $ oint_(C) y^2ds $ , dove C è il primo arco della cicloide $ r(t)=(R(t-sint),R(1-cost)) $ Impostando mi viene $ oint_(C) y^2ds=int_(0)^( )R^2(1-cost)^2sqrt(R^2(1-cost)^2+R^2sin^2t) dt $. Qui però mi blocco, perché non so come trovare il secondo estremo di integrazione. Consigli?

[dan952]

Siano $f=y^2$ e $r(t)=(R(t-\sin t),R(1-\cos t))$
$$\oint_{C}fds=\int_{0}^{2\pi}f(r(t))||r'(t)||dt$$
$$f(r(t))=f((R(t-\sin t),R(1-\cos t)))=R^2(1-\cos t)^2$$
$$||r'(t)||=||(R(1-\cos t), R\sin t)||=\sqrt{R^2(1-\cos t)^2+R^2\sin^2 t}$$

[petrogass]

Perché il secondo estremo di integrazione è 2pi?

[dan952]

Perché $t \in [0, 2\pi]$, gli estremi di integrazione dipendono dal dominio della parametrizzazione nel nostro caso $r: [0, 2\pi] \rightarrow RR^2$ appunto.

[petrogass]

Ok... E per risolvere un'integrale del genere che strada posso prendere? io non riesco ad uscirne

[petrogass]

up

[dan952]

Considera che $(1-\cos t)^2\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}=8\sin^4(t/2)|\sin(t/2)|$ (con un pò di trigonometria), il valore assoluto può essere levato perché in $[0, 2\pi]$ la funzione $\sin(t/2)$ è non negativa, quindi dovresti calcolarti:
$$8R^3\int_{0}^{2\pi} \sin^5(t/2)dt$$
Che se non sbaglio è notevole