Integrale di linea
Salve ragazzi mi rivolgo a voi per la risoluzione di un integrale di linea...diciamo che non ho molto chiare le basi e quindi trovo difficoltà nella risoluzione nella maggior parte di questi esercizi...in particolare vi chiedo la risoluzione di un particolare esercizio dal quale spero di riuscire a capire quale sia il procedimento da utilizzare.
Calcolare:
$ int_alpha (xdy-ydx)/(x^2 + y^2) $
Con $ alpha :[-1:1]rarr R^2 $ data da: $ alpha(t) = {: ( sin(pit ),( 1-t^2) :}){: $
Quello che so è di imporre il dominio dato della curva come estremi di ingrazione e sostituire i valore delle x e della y della curva all'interno della funzione data...il problema è che i valori che mi escono sono spesso e volentieri "incalcolabili" e penso quindi di sbagliare sicuramente qualcosa nel procedimento.
Sostituendo ottengo infatti:
$ int_(-1)^(1) (-sin(pit)4t- (1-t^2)picos(pit))/(sin^2(pit)+1+4t^4-4t^2)dt $
Per il quale non vedo alcun metodo di risoluzione semplice.
Ringrazio anticipatamente chiunque sia disposto ad aiutarmi
Calcolare:
$ int_alpha (xdy-ydx)/(x^2 + y^2) $
Con $ alpha :[-1:1]rarr R^2 $ data da: $ alpha(t) = {: ( sin(pit ),( 1-t^2) :}){: $
Quello che so è di imporre il dominio dato della curva come estremi di ingrazione e sostituire i valore delle x e della y della curva all'interno della funzione data...il problema è che i valori che mi escono sono spesso e volentieri "incalcolabili" e penso quindi di sbagliare sicuramente qualcosa nel procedimento.
Sostituendo ottengo infatti:
$ int_(-1)^(1) (-sin(pit)4t- (1-t^2)picos(pit))/(sin^2(pit)+1+4t^4-4t^2)dt $
Per il quale non vedo alcun metodo di risoluzione semplice.
Ringrazio anticipatamente chiunque sia disposto ad aiutarmi
Risposte
TeM, posso fare una osservazione? Se dopo le sostituzioni riesci a risolvere l'integrale in quel modo, allora questo implica che la forma differenziale è esatta a meno di un fattore integrante. E in effetti si ha
$$\frac{x\ dy-y\ dx}{x^2+y^2}=\frac{x\ dy-y\ dx}{y^2}\cdot\frac{1}{1+(x/y)^2}=d\left(x/y\right)\cdot\frac{1}{1+(x/y)^2}=d[\arctan(x/y)]$$
$$\frac{x\ dy-y\ dx}{x^2+y^2}=\frac{x\ dy-y\ dx}{y^2}\cdot\frac{1}{1+(x/y)^2}=d\left(x/y\right)\cdot\frac{1}{1+(x/y)^2}=d[\arctan(x/y)]$$
Ho scritto una variabile al posto di una altra! Ok, quella è la funzione.
Quello che dici è corretto, però, come ti dicevo prima, in questo caso si può usare un fattore integrante per rendere la forma esatta. Osserva che per come è definita la curva, con la sostituzione diretta ti ritrovi a dover calcolare un integrale improprio il quale ti fornisce lo stesso grado di "indeterminazione" nel calcolo che avresti considerando l'esattezza della forma nei due semipiani.
Analizzando la cosa sotto questa luce, cosa ne deduci?
Quello che dici è corretto, però, come ti dicevo prima, in questo caso si può usare un fattore integrante per rendere la forma esatta. Osserva che per come è definita la curva, con la sostituzione diretta ti ritrovi a dover calcolare un integrale improprio il quale ti fornisce lo stesso grado di "indeterminazione" nel calcolo che avresti considerando l'esattezza della forma nei due semipiani.
Analizzando la cosa sotto questa luce, cosa ne deduci?
Non sbagli. E' una questione di "infinitesimi e infiniti" se la vogliamo mettere sul semplice.
Grazie mille TeM per la spiegazione chiara e puntuale...mi sono letto anche quel link e mi ha chiarito molte cose Non sono intervenuto nella discussione in quanto non in grado di sciogliere i vostri dubbi...magari ci ritornerò quando sarò piu avanti con gli studi
Non sono intervenuto nella discussione in quanto non in grado di sciogliere i vostri dubbi...magari ci ritornerò quando sarò piu avanti con gli studi
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