Integrale di Lebesgue e Riemann
Ciao a tutti ragazzi, mi trovo un pò in difficoltà sulla teoria della misura e l'integrale di lebesgue..diciamo che mi sono bloccato al teorema che afferma che una funzione integrabile secondo Riemann e integrabile anche secondo Lebesgue..ad intuito riesco a capire il perchè, ma appena leggo la dimostrazione fatta dalla professoressa mi perdo.
ve la riporto di seguito:
Le f integrabili secondo Riemann sono le $S^{el}$, mentre quelle integrabili secondo Lebesgue sono le S..quindi $S^{el}$ $\sub$ S
Per Riemann,
S = sup${\int \psi , \psi \in S^{el}}<=$ sup${\int \psi , \psi \in S_{-}}=$ $\int_{-}f <= \int^+f =$ inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}<=$inf${\int \varphi , \varphi \in S^{el}}=\bar{S}$
Siccome per Riemann f è integrabile se S= $\bar{S}$, anche $\int_{-}f = \int^+f $ e quindi è integrabile anche secondo Lebesgue.
non riesco a capire perchè inf $ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}<=$inf${\int \varphi , \varphi \in S^{el}}$..qualcuno riesce a spiegarmelo?? grazie mille!
ve la riporto di seguito:
Le f integrabili secondo Riemann sono le $S^{el}$, mentre quelle integrabili secondo Lebesgue sono le S..quindi $S^{el}$ $\sub$ S
Per Riemann,
S = sup${\int \psi , \psi \in S^{el}}<=$ sup${\int \psi , \psi \in S_{-}}=$ $\int_{-}f <= \int^+f =$ inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}<=$inf${\int \varphi , \varphi \in S^{el}}=\bar{S}$
Siccome per Riemann f è integrabile se S= $\bar{S}$, anche $\int_{-}f = \int^+f $ e quindi è integrabile anche secondo Lebesgue.
non riesco a capire perchè inf $ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}<=$inf${\int \varphi , \varphi \in S^{el}}$..qualcuno riesce a spiegarmelo?? grazie mille!
Risposte
Secondo me hai spiegato male i simboli, e in realtà $S^{el}$ sta per "funzioni semplici nel senso di Riemann" e $S, S_+, S_-$ sta per "funzioni semplici secondo Lebesgue". Giusto?
sisi, scusa!
up
In realtà è molto semplice.
Se hai capito che le funzioni semplici sono "di più" di quelle elementari ($S^{el] \subset S$) allora hai che l'insieme di funzioni semplici è più vasto E soprattutto CONTIENE quello delle funzioni elementari.
Allora immaginiamo per un attimo che $S^{el} = S$ (i due insiemi coincidano). Avresti per forza che
$$inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $
Ma se l'insieme delle funzioni semplici è più vasto, potresti in generale avere una o piu funzioni (semplici) cui integrale è più piccolo di tutte le funzioni elementari ...ovvero (nota il minore O uguale):
$$inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}<= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $
Stessa cosa per il sup invertendo le disuguaglianze!
Insomma tutto sta nell'affermare che le funzioni semplici sono "di più" di quelle elementari, per cui in generale gli estremi dell'insieme possono "dilatarsi".
Se hai capito che le funzioni semplici sono "di più" di quelle elementari ($S^{el] \subset S$) allora hai che l'insieme di funzioni semplici è più vasto E soprattutto CONTIENE quello delle funzioni elementari.
Allora immaginiamo per un attimo che $S^{el} = S$ (i due insiemi coincidano). Avresti per forza che
$$inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $
Ma se l'insieme delle funzioni semplici è più vasto, potresti in generale avere una o piu funzioni (semplici) cui integrale è più piccolo di tutte le funzioni elementari ...ovvero (nota il minore O uguale):
$$inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}<= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $
Stessa cosa per il sup invertendo le disuguaglianze!
Insomma tutto sta nell'affermare che le funzioni semplici sono "di più" di quelle elementari, per cui in generale gli estremi dell'insieme possono "dilatarsi".
"Zurzaza":
In realtà è molto semplice.
Se hai capito che le funzioni semplici sono "di più" di quelle elementari ($ S^{el] \subset S $) allora hai che l'insieme di funzioni semplici è più vasto E soprattutto CONTIENE quello delle funzioni elementari.
Allora immaginiamo per un attimo che $ S^{el} = S $ (i due insiemi coincidano). Avresti per forza che
\[ inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $ Ma se l'insieme delle funzioni semplici è più vasto, potresti in generale avere una o piu funzioni (semplici) cui integrale è più piccolo di tutte le funzioni elementari ...ovvero (nota il minore O uguale): \]inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}<= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $
Stessa cosa per il sup invertendo le disuguaglianze!
Insomma tutto sta nell'affermare che le funzioni semplici sono "di più" di quelle elementari, per cui in generale gli estremi dell'insieme possono "dilatarsi".
mmm, forse sono duro di testa, anzi senza forse xD visto che $ S^{el] \subset S $, non dovrebbe essere che inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}>= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $ ???? non riesco a capirlo
Tranquillo..siamo qua per chiarire i tuoi dubbi 
Immagina di considerare gli insiemi di funzioni. Tralasciamo l'integrale per un attimo.
Prendiamo una funzione $\phi \in S^{el}$ e una funzione $\psi \in S$ definite su un certo intervallo $[a,b]$
Dal momento che $S^{el}\subset S$ in generale può valere $\phi \in S$ ma non $\psi in S^{el}$
E direi che su questo, dovresti esserci pure tu...giusto?
Poniamo il caso che l'insieme S contenga $S^{el}$ più una certa funzione $f$ (che evidentemente non sarà integrabile alla Riemann)...
In generale niente impedisce che $\int f > \int \phi $ data una $\phi in S^{el}$ (dove chiaramente il primo è inteso secondo Lebesgue)
In questo caso avresti che i due estremi inferiori coincidono...in quanto la funzione "aggiunta" ha un integrale che è maggiore di uno di quelle delle funzioni elementari.
$$inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $
Ma niente impedisce che $\int f < \int \phi $ $\forall \phi in S^{el}$...
In questo caso l'inf di $S$ è più grande o più piccolo di quello di $S^{el}$?
E se $\int f = \int \phi $ con $ \phi in S^{el}$?
Immagina di considerare gli insiemi di funzioni. Tralasciamo l'integrale per un attimo.
Prendiamo una funzione $\phi \in S^{el}$ e una funzione $\psi \in S$ definite su un certo intervallo $[a,b]$
Dal momento che $S^{el}\subset S$ in generale può valere $\phi \in S$ ma non $\psi in S^{el}$
E direi che su questo, dovresti esserci pure tu...giusto?
Poniamo il caso che l'insieme S contenga $S^{el}$ più una certa funzione $f$ (che evidentemente non sarà integrabile alla Riemann)...
In generale niente impedisce che $\int f > \int \phi $ data una $\phi in S^{el}$ (dove chiaramente il primo è inteso secondo Lebesgue)
In questo caso avresti che i due estremi inferiori coincidono...in quanto la funzione "aggiunta" ha un integrale che è maggiore di uno di quelle delle funzioni elementari.
$$inf$ {\int \varphi , \varphi \in S_{+}}= $inf$ {\int \varphi , \varphi \in S^{el}} $
Ma niente impedisce che $\int f < \int \phi $ $\forall \phi in S^{el}$...
In questo caso l'inf di $S$ è più grande o più piccolo di quello di $S^{el}$?
E se $\int f = \int \phi $ con $ \phi in S^{el}$?
mmm, riflettendoci un pò..se $\int f < \int \varphi$ inf S dovrebbe essere più grande di quello di $S^{el}$..però non lo dico con sicurezza..sono un pò confuso
Pardon la confusione..intendevo comunque quale sarà l' inf${\int\phi,\phi\inS^{el}}$ ma vabbè...mi hai capito vedo 
Comunque sia perchè dici che inf${\int\phi,\phi\inS^{el}}$ < inf${\int\phi,\phi\inS}$?
Facciamo una ulteriore semplificazione:
mettiamo che $S^{el}={f(x)=1,f(x)=2}$ ovvero è un insieme formato dalle sole funzioni costanti $1,2$ definite in $[a,b]$
Se definisco l'insieme $S={f(x)=0,f(x)=1,f(x)=2}$ definite in $[a,b]$ vedi che $S^{el}\subsetS$
Prendiamo ora l'insieme ${\int\phi,\phi\inS^{el}}={(b-a),2(b-a)}$
Se consideri ${\int\phi,\phi\inS}={0,(b-a),2(b-a)}$
Come sono in rapporto i due inf? ti risulta che ${\int\phi,\phi\inS^{el}}$ < ${\int\phi,\phi\inS}$ ?
[ot]Vedo che sei di Ferrara... Che facoltà fai?[/ot]
Comunque sia perchè dici che inf${\int\phi,\phi\inS^{el}}$ < inf${\int\phi,\phi\inS}$?
Facciamo una ulteriore semplificazione:
mettiamo che $S^{el}={f(x)=1,f(x)=2}$ ovvero è un insieme formato dalle sole funzioni costanti $1,2$ definite in $[a,b]$
Se definisco l'insieme $S={f(x)=0,f(x)=1,f(x)=2}$ definite in $[a,b]$ vedi che $S^{el}\subsetS$
Prendiamo ora l'insieme ${\int\phi,\phi\inS^{el}}={(b-a),2(b-a)}$
Se consideri ${\int\phi,\phi\inS}={0,(b-a),2(b-a)}$
Come sono in rapporto i due inf? ti risulta che ${\int\phi,\phi\inS^{el}}$ < ${\int\phi,\phi\inS}$ ?
[ot]Vedo che sei di Ferrara...
Che facoltà fai?[/ot]
ma come scusa??essendo [a,b], b>a e quindi b-a >0, quindi inf($S^{el}$)=b-a>0 mentre inf (S) = 0..perchè dici che inf($S^{el}$)
OT: faccio ingegneria dell'informazione e sono bloccato su analisi 2 xD
OT: faccio ingegneria dell'informazione e sono bloccato su analisi 2 xD
Appunto!
Quello che ti stavo cercando di capire è che siccome $S$ contiene $S^{el}$ allora inf${\int\phi,\phi\inS^{el}}$ $>=$ inf${\int\phi,\phi\inS}$ e non il contrario come dicevi tu!
[ot]Pure io Analisi 2 l'ho passato...per fortuna[/ot]
P.S. Pardon le modifiche ma sono le 7 di sera...dopo 8 ore di lezione
Quello che ti stavo cercando di capire è che siccome $S$ contiene $S^{el}$ allora inf${\int\phi,\phi\inS^{el}}$ $>=$ inf${\int\phi,\phi\inS}$ e non il contrario come dicevi tu!
[ot]Pure io
Analisi 2 l'ho passato...per fortuna[/ot]P.S. Pardon le modifiche ma sono le 7 di sera...dopo 8 ore di lezione
ahhhh era un trabocchetto xD okok adesso ci sono!!! grazie mille!!! cmq t ho scritto in privato eheheh
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