Integrale di lebesgue
su \(\mathbb R\) definisco la relazione di equivalenza \(x\sigma y\Leftrightarrow x-y\in\mathbb Q\).
faccio il quoziente e scelgo i rappresentanti \(\in(0,1)\). in pratica, l'insieme di vitali in \((0,1)\).
ora, ho la funzione di scelta \(f\) che mappa \(x\mapsto[x]\) (ogni \(x\) nel suo rappresentante in \((0,1)\)).
sapendo che l'insieme di vitali non è misurabile, \(f\) è integrabile secondo lebesgue?
\(f\) è limitata, quindi se è misurabile è anche integrabile.
e qui non so proseguire.
scusate, non ho ancora fatto questi argomenti. per metà è una curiosità, per metà mi servirebbe a raggiungere un risultatino...
potreste aiutarmi?
faccio il quoziente e scelgo i rappresentanti \(\in(0,1)\). in pratica, l'insieme di vitali in \((0,1)\).
ora, ho la funzione di scelta \(f\) che mappa \(x\mapsto[x]\) (ogni \(x\) nel suo rappresentante in \((0,1)\)).
sapendo che l'insieme di vitali non è misurabile, \(f\) è integrabile secondo lebesgue?
\(f\) è limitata, quindi se è misurabile è anche integrabile.
e qui non so proseguire.
scusate, non ho ancora fatto questi argomenti. per metà è una curiosità, per metà mi servirebbe a raggiungere un risultatino...
potreste aiutarmi?
Risposte
Uno dei modi (equivalenti) di definire la misurabilità di una funzione è di chiedere:
per ogni $a\in RR$ l'insieme ${x: f(x)\le a}$ è misurabile.
Dato che nel tuo caso ${x:f(x)\le 1}$ non è misurabile la $f$ non può essere misurabile.
Peraltro essendo $0\leq f\leq 1$ l'integrabilità coincide con la misurabilità (se come mi pare di capire, consideri $f$ definita
su $[0,1]$ - o su un intervallo limitato).
per ogni $a\in RR$ l'insieme ${x: f(x)\le a}$ è misurabile.
Dato che nel tuo caso ${x:f(x)\le 1}$ non è misurabile la $f$ non può essere misurabile.
Peraltro essendo $0\leq f\leq 1$ l'integrabilità coincide con la misurabilità (se come mi pare di capire, consideri $f$ definita
su $[0,1]$ - o su un intervallo limitato).
Ciao Alberto, non so se ti potrò aiutare ma potresti spiegarmi meglio come definisci la f, così per curiosità
@DajeForte: ho preso il quoziente \(\mathbb R/\sigma\) e scelto i rappresentanti in \((0,1)\), per poterlo fare serve l'assioma della scelta. questo insieme si chiama insieme di vitali (\(V\)).
la funzione \(f:\mathbb R\to V\) associa ad ogni \(x\in\mathbb R\) l'unico rappresentante \(y\in V\) tale che \(y-x\in\mathbb Q\).
@ViciousGoblin: ma \(\{x:f(x)\le1\}=\mathbb R\) quindi è misurabile.
c'è qualcosa che non capisco?
la funzione \(f:\mathbb R\to V\) associa ad ogni \(x\in\mathbb R\) l'unico rappresentante \(y\in V\) tale che \(y-x\in\mathbb Q\).
@ViciousGoblin: ma \(\{x:f(x)\le1\}=\mathbb R\) quindi è misurabile.
c'è qualcosa che non capisco?
"albertobosia":
@
@ViciousGoblin: ma \(\{x:f(x)\le1\}=\mathbb R\) quindi è misurabile.
c'è qualcosa che non capisco?
Veramente sono io che ho preso un abbaglio
.Devo riflettere un attimoò
Ci riprovo ...
Mi sembra che il punto chiave sia l'osservare che la funzione $f$ è periodica DI OGNI PERIODO RAZIONALE (come si vede
dalla definizione). Supponiamo che sia misurabile, allora (visto che è limitata) essa sarebbe integrabile su ogni intervallo
limitato. Chiamiamo $\alpha$ l'integrale di $f$ su $[0,1]$. Usando la periodicità si trova che
$\int_{a+q}^{b+q}f(x)dx=\int_a^b f(x)dx$ per ogni $a,b$ reali e $q$ razionale. Se ne deduce , con un po' di pazienza, che
$\int_0^{n/m}f(x)dx=\alpha n/m$ e più in generale che $\int_{q'}^{q''}f(x)dx=\alpha(q''-q')$ per ogni $q',q''$ razionali.
Usando la convergenza dominata si può passare a $\int_{a}^{b}f(x)dx=\alpha(b-a)$ per ogni $a,b$ reali, che è come dire
che $\int_a^b (f(x)-\alpha)dx=0$ per ogni $a,b$ reali.
A questo punto - qui la strada sarebbe ancora lunga ma è abbastanza standard per cui, almeno per ora, do per buona la proprietà - si ricava che $f(x)=\alpha$ quasi ovunque, cosa che si vede bene non essere possibile.
Vedi un po' se stavolta può tornare - e se magari si può semplificare.
Mi sembra che il punto chiave sia l'osservare che la funzione $f$ è periodica DI OGNI PERIODO RAZIONALE (come si vede
dalla definizione). Supponiamo che sia misurabile, allora (visto che è limitata) essa sarebbe integrabile su ogni intervallo
limitato. Chiamiamo $\alpha$ l'integrale di $f$ su $[0,1]$. Usando la periodicità si trova che
$\int_{a+q}^{b+q}f(x)dx=\int_a^b f(x)dx$ per ogni $a,b$ reali e $q$ razionale. Se ne deduce , con un po' di pazienza, che
$\int_0^{n/m}f(x)dx=\alpha n/m$ e più in generale che $\int_{q'}^{q''}f(x)dx=\alpha(q''-q')$ per ogni $q',q''$ razionali.
Usando la convergenza dominata si può passare a $\int_{a}^{b}f(x)dx=\alpha(b-a)$ per ogni $a,b$ reali, che è come dire
che $\int_a^b (f(x)-\alpha)dx=0$ per ogni $a,b$ reali.
A questo punto - qui la strada sarebbe ancora lunga ma è abbastanza standard per cui, almeno per ora, do per buona la proprietà - si ricava che $f(x)=\alpha$ quasi ovunque, cosa che si vede bene non essere possibile.
Vedi un po' se stavolta può tornare - e se magari si può semplificare.
capito, grazie della spiegazione.
mi viene spontanea una domanda:
ho \(f(x)\) periodica di ogni razionale, limitata. è misurabile (integrabile) se e solo se \(f(x)=a\) quasi ovunque?
il "solo se" è nel post precedente, anche il "se" mi sembra corretto ma...
mi viene spontanea una domanda:
ho \(f(x)\) periodica di ogni razionale, limitata. è misurabile (integrabile) se e solo se \(f(x)=a\) quasi ovunque?
il "solo se" è nel post precedente, anche il "se" mi sembra corretto ma...
"albertobosia":
capito, grazie della spiegazione.
mi viene spontanea una domanda:
ho \(f(x)\) periodica di ogni razionale, limitata. è misurabile (integrabile) se e solo se \(f(x)=a\) quasi ovunque?
il "solo se" è nel post precedente, anche il "se" mi sembra corretto ma...
PERFETTO
mi sorge un dubbio: ho un insieme \(A\subset[0,1]\) di misura \(\frac12\) e l'insieme \(B=\{x\ |\ \exists n\in\mathbb Z:x+n\in A\}\) (cioè ricopio \(A\) su tutto \(\mathbb R\)).
la funzione indicatrice di \(B\) è sicuramente integrabile, quindi non può essere periodica senza periodo minimo?
mi sembra strana sta cosa...
la funzione indicatrice di \(B\) è sicuramente integrabile, quindi non può essere periodica senza periodo minimo?
mi sembra strana sta cosa...
"albertobosia":
su \(\mathbb R\) definisco la relazione di equivalenza \(x\sigma y\Leftrightarrow x-y\in\mathbb Q\).
faccio il quoziente e scelgo i rappresentanti \(\in(0,1)\). in pratica, l'insieme di vitali in \((0,1)\).
ora, ho la funzione di scelta \(f\) che mappa \(x\mapsto[x]\) (ogni \(x\) nel suo rappresentante in \((0,1)\)).
sapendo che l'insieme di vitali non è misurabile, \(f\) è integrabile secondo lebesgue?
\(f\) è limitata, quindi se è misurabile è anche integrabile.
e qui non so proseguire.
Buongiorno .
Scusate l'intrusione ...
Penso che la funzione $ f $ non è misurabile .
Difatti , se $ f $ fosse misurabile allora l'insieme $ { x in RR | f(x) = x } $ sarebbe misurabile
ma quest' insieme è precisamente l'insieme di Vitali . Si ottiene una contraddizione .
Pare giusto ?
Eh sì, sembra che DMNQ arrivi puntualmente a semplificare le mie costruzioni complicate .
L'unica cosa che mi consola è che il mio discorso è più generale e riguarda una qualunque funzione periodica di ogni periodo razionale.
.L'unica cosa che mi consola è che il mio discorso è più generale e riguarda una qualunque funzione periodica di ogni periodo razionale.
"DMNQ":
Buongiorno .
Scusate l'intrusione ...
Penso che la funzione $ f $ non è misurabile .
Difatti , se $ f $ fosse misurabile allora l'insieme $ { x in RR | f(x) = x } $ sarebbe misurabile
ma quest' insieme è precisamente l'insieme di Vitali . Si ottiene una contraddizione .
Pare giusto ?
hai ragione, questo è sufficiente in questo caso, ma non in generale.
prendiamo un insieme \(A\) non misurabile compreso in \((0,\frac12)\) e \(f\) come la funzione caratteristica di \(A\).
l'insieme \(\{x:f(x)=x\}\) è misurabile, ma la funzione no.
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