Integrale di lebesgue

[process11]

ho questa definizione:
per ogni funzione misurabile $f:X->[0,+infty]$ si definisce integrale di f su X rispetto alla misura $mu$( $mu$ è una misura sigma-additiva) il numero reale esteso:
$\int_X(f)={I(g) | g:X->R$ è una funzione semplice e misurabile e $ 0<=g<=f}$ (dove $I(g)=sum_{a in g(X)}amu(E)$)
allora l'esercizio mi dice:
se $f<=g$ allora $\int_X(f)<=\int_X(g)$
ora per fare questo esercizio basta usare la definizione?? cioè ho che
$\int_X(g)={I(h) | h:X->R$ è una funzione semplice e misurabile e $ 0<=h<=g}$. come cavolo uso questa informazione???

[process11]

up

[Rigel1]

Dimostri prima che la disuguaglianza vale se $f$ e $g$ sono funzioni semplici.
Una volta fatto questo, segue subito la disuguaglianza nel caso generale dal momento che se $h$ è una funzione semplice $\le f$, allora è anche $\le g$.

[Kyl1]

"blabla":
$\int_X(f)={I(g) | g:X->R$ è una funzione semplice e misurabile e $ 0<=g<=f}$ (dove $I(g)=sum_{a in g(X)}amu(E)$)

Mi sbaglio io, o dovrebbe esserci un sup in questa definizione?
$\int_X(f)= \text{sup} {I(g) | g:X->R$ è una funzione semplice e misurabile e $ 0<=g<=f}$ (dove $I(g)=sum_{a in g(X)}amu(E)$)

[Rigel1]

Certo, c'è un \(\sup\).

[process11]

scusate si c'è un sup...ok ho capito ora...
voglio chiedere un'ultima cosa su questo ...posso prendere
$\int_X(f)=$sup${I(g) | g:X->R$ è una funzione semplice e misurabile e $ 0<=g cioè dove l'estremo sup è definito per funzioni semplici g che sono strettamenti minori di f..
perchè questa parte della disuguaglianza $>=$ è ovvia , perchè $\int_X(f)$ è per definizione l'estremo superiore di un insieme maggiore di quello che c'è a destra...ma per quanto riguarda l'altra disuguaglianza, esiste una funzione semplice $h$ strettamente minore di g in ogni punto tale che per ogni $epsilon>0$ $I(h)>I(g)-epsilon$?

[Rigel1]

Non vedo alcun vantaggio a usare il $<$ al posto del $\le$ (comunque le definizioni sono equivalenti).
Non ho capito quale sia "l'altra disuguaglianza".

[process11]

tu dici che le definizioni sono equivalenti...io ti chiedo: perchè lo sono?(quello che ho scritto cercava di dare una motivazione del perchè le definizioni sono equivalenti)

ah poi volevo chiedere un'altra cosa(forse un pò imbarazzante per me , ma non importa ): come si legge in italiano questo
sup${I(g) | g:X->R$ è una funzione semplice e misurabile e $ 0<=g l'estremo superiore dell'nsieme che contiene l'integrale di g dove g è una ecc ecc ecc???

[Rigel1]

C'è un piccolo inghippo nella definizione con $0\le g < f$.
Se $f$ si annulla da qualche parte, non esistono funzioni semplici $0\le g < f$; devi quindi necessariamente usare la def. con $g\le f$.
Se non richiedi $g\ge 0$ (cosa peraltro non necessaria), nel caso $\mu(X) < +\infty$ ti basta rimpiazzare $g$ con $g-\epsilon$.
Detto questo, perché vuoi usare $g < f$?

[process11]

lo chiesto perchè in una dimostrazione che ho trovato del teorema di convergenza monotona si usava questo fatto...

[Rigel1]

Probabilmente allora $\mu(X) < \infty$ e nella definizione non era presente il vincolo $0\le g$.