Integrale di Lebesgue
Sono agli inizi, quindi ho ancora un pochino le idee confuse.
Dovrei calcolare l'integrale (nel senso di Lebesgue) \(\int_{[0,1]} f \ d \mu\), dove:
\[f(x) = \begin{cases} 0 &\text{, se } x \in \mathbb{Q}\\
n &\text{, se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ e la prima cifra decimale non nulla e' quella } n\text{-esima.}\end{cases}\]
Per prima cosa, visto che $[0,1] \nn QQ$ (più in generale, tutto $QQ$) ha misura di Lebesgue nulla, ho pensato che posso tranquillamente trascurare $f(x)=0$. Insomma, quello che voglio dire è che $f(x)=n$ q.o.
Ancora, se non ho sbagliato i conti, ristretta a $[0,1]$, la $f(x)$ dovrebbe essere uguale a [tex]\lceil\log_{10}\left(\frac{1}{x}\right) \rceil[/tex] (dove con [tex]\lceil \cdot \rceil[/tex] indico la parte intera superiore).
Ora però viene il problema dell'integrazione vera e propria: in sostanza, come integro [tex]\lceil\log_{10}\left(\frac{1}{x}\right) \rceil[/tex] su $[0,1] \setminus QQ$?
Una mano, per piacere?
Grazie in anticipo
Dovrei calcolare l'integrale (nel senso di Lebesgue) \(\int_{[0,1]} f \ d \mu\), dove:
\[f(x) = \begin{cases} 0 &\text{, se } x \in \mathbb{Q}\\
n &\text{, se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ e la prima cifra decimale non nulla e' quella } n\text{-esima.}\end{cases}\]
Per prima cosa, visto che $[0,1] \nn QQ$ (più in generale, tutto $QQ$) ha misura di Lebesgue nulla, ho pensato che posso tranquillamente trascurare $f(x)=0$. Insomma, quello che voglio dire è che $f(x)=n$ q.o.
Ancora, se non ho sbagliato i conti, ristretta a $[0,1]$, la $f(x)$ dovrebbe essere uguale a [tex]\lceil\log_{10}\left(\frac{1}{x}\right) \rceil[/tex] (dove con [tex]\lceil \cdot \rceil[/tex] indico la parte intera superiore).
Ora però viene il problema dell'integrazione vera e propria: in sostanza, come integro [tex]\lceil\log_{10}\left(\frac{1}{x}\right) \rceil[/tex] su $[0,1] \setminus QQ$?
Una mano, per piacere?
Grazie in anticipo
Risposte
Visto che \(f(x)\) differisce da \(g(x)=\log_{10} (1/x)=-\log_{10} x\) solo su un insieme di misura nulla, è evidente che l'integrale di \(f\) coincide con l'integrale di \(g\); la \(g\) è continua e positiva in \(]0,1]\), ergo il suo integrale di Lebesgue coincide con l'integrale improprio di Riemann; infine, il calcolo di \(\int_0^1 \log_{10}x\ \text{d} x\) è un esercizio di Analisi unmezzo. 
*** EDIT: Ovviamente mi ero dimenticato qualcosa... Ossia non avevo tenuto presente la parte intera!
Rimedio ora, sperando di non creare altra confusione.
La \(f(x)\) coincide q.o. con la \(g(x):=\lceil \log_{10} (1/x)\rceil\), ergo l'integrale di \(f(x)\) coincide con quello di \(g(x)\).
Per calcolare l'integrale di \(g(x)\) conviene tenerla sotto mano in forma meno compatta: evidentemente se \(x\in I_n:=[10^{-n},10^{-(n-1)}[\) (qui e nel seguito \(n\in \mathbb{N}\)) si ha \(1/x\in ]10^{n-1}, 10^n]\), sicché \(\log_{10} (1/x) \in ]n-1,n]\), quindi:
\[x\in I_n \quad \Rightarrow \quad g(x)=n\; ;\]
ne viene che \(g(x)\) è la funzione a scalini:
\[g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} n\ \chi_{I_n}(x) \; .\]
Tale funzione è positiva e si ottiene come limite crescente di una famiglia di funzioni semplici, ossia \(s_N(x):=\sum_{n=1}^N n\ \chi_{I_n} (x)\): conseguentemente, per il teorema di Beppo Levi (o anche per la stessa definizione dell'integrale di Lebesgue) si ha:
\[ \begin{split} \int_{[0,1]} g\ \text{d}m &= \lim_N \int_{[0,1]} s_N\ \text{d}m \\ &=\lim_N \sum_{n=1}^N n\ m(I_n) \\ &= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{9n}{10^n} \end{split}\]
e la somma dell'ultima serie non è difficile da calcolare.
Che te ne pare ora? Fila?
*** EDIT: Ovviamente mi ero dimenticato qualcosa... Ossia non avevo tenuto presente la parte intera!
Rimedio ora, sperando di non creare altra confusione.
La \(f(x)\) coincide q.o. con la \(g(x):=\lceil \log_{10} (1/x)\rceil\), ergo l'integrale di \(f(x)\) coincide con quello di \(g(x)\).
Per calcolare l'integrale di \(g(x)\) conviene tenerla sotto mano in forma meno compatta: evidentemente se \(x\in I_n:=[10^{-n},10^{-(n-1)}[\) (qui e nel seguito \(n\in \mathbb{N}\)) si ha \(1/x\in ]10^{n-1}, 10^n]\), sicché \(\log_{10} (1/x) \in ]n-1,n]\), quindi:
\[x\in I_n \quad \Rightarrow \quad g(x)=n\; ;\]
ne viene che \(g(x)\) è la funzione a scalini:
\[g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} n\ \chi_{I_n}(x) \; .\]
Tale funzione è positiva e si ottiene come limite crescente di una famiglia di funzioni semplici, ossia \(s_N(x):=\sum_{n=1}^N n\ \chi_{I_n} (x)\): conseguentemente, per il teorema di Beppo Levi (o anche per la stessa definizione dell'integrale di Lebesgue) si ha:
\[ \begin{split} \int_{[0,1]} g\ \text{d}m &= \lim_N \int_{[0,1]} s_N\ \text{d}m \\ &=\lim_N \sum_{n=1}^N n\ m(I_n) \\ &= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{9n}{10^n} \end{split}\]
e la somma dell'ultima serie non è difficile da calcolare.
Che te ne pare ora? Fila?
Avevo immaginato che si finisse con un semplice integrale di Riemann.
Solo che non ci arrivo, abbi pazienza, ma non ho capito come si toglie 'sta benedetta parte intera. La mia funzione non è $g(x)=-log_{10}x$, ma è [tex]f(x)= \lceil -\log_{10}x \rceil[/tex], che mi pare incredibilmente orrida .
Io non ho capito come dimostrare che $f(x)=g(x)$ q.o. C'è forse qualche notevole proprietà di [tex]\lceil \cdot \rceil[/tex] che io non vedo o non conosco?
Grazie mille per il tempo dedicatomi
Solo che non ci arrivo, abbi pazienza, ma non ho capito come si toglie 'sta benedetta parte intera. La mia funzione non è $g(x)=-log_{10}x$, ma è [tex]f(x)= \lceil -\log_{10}x \rceil[/tex], che mi pare incredibilmente orrida
.Io non ho capito come dimostrare che $f(x)=g(x)$ q.o. C'è forse qualche notevole proprietà di [tex]\lceil \cdot \rceil[/tex] che io non vedo o non conosco?
Grazie mille per il tempo dedicatomi
La tua funzione vale:
1 in $[1/10,1] nn Q^c$
2 in $[1/100,1/10] nn Q^c$
3 in $[1/1000,1/100] nn Q^c$
4 in $[1/10000,1/1000] nn Q^c$
.
.
.
Capito?
Ok mi rendo conto che modifica di gugo viene dopo la tua risposta.
Infatti il post di gugo è molto chiaro.
Sorri
1 in $[1/10,1] nn Q^c$
2 in $[1/100,1/10] nn Q^c$
3 in $[1/1000,1/100] nn Q^c$
4 in $[1/10000,1/1000] nn Q^c$
.
.
.
Capito?
Ok mi rendo conto che modifica di gugo viene dopo la tua risposta.
Infatti il post di gugo è molto chiaro.
Sorri
"gugo82":
Per calcolare l'integrale di \(g(x)\) conviene tenerla sotto mano in forma meno compatta: evidentemente se \(x\in I_n:=[10^{-n},10^{-(n-1)}[\) (qui e nel seguito \(n\in \mathbb{N}\)) si ha \(1/x\in ]10^{n-1}, 10^n]\), sicché \(\log_{10} (1/x) \in ]n-1,n]\), quindi:
\[x\in I_n \quad \Rightarrow \quad g(x)=n\; ;\]
ne viene che \(g(x)\) è la funzione a scalini:
\[g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} n\ \chi_{I_n}(x) \; .\]
Già, è verissimo.
"gugo82":
Tale funzione è positiva e si ottiene come limite crescente di una famiglia di funzioni semplici, ossia \(s_N(x):=\sum_{n=1}^N n\ \chi_{I_n} (x)\): conseguentemente, per il teorema di Beppo Levi (o anche per la stessa definizione dell'integrale di Lebesgue) si ha:
\[ \begin{split} \int_{[0,1]} g\ \text{d}m &= \lim_N \int_{[0,1]} s_N\ \text{d}m \\ &=\lim_N \sum_{n=1}^N n\ m(I_n) \\ &= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{9n}{10^n} \end{split}\]
e la somma dell'ultima serie non è difficile da calcolare.
Che te ne pare ora? Fila?
Fila tutto eccome, ti ringrazio.
Non ho capito solo una cosa, il riferimento a Beppo Levi. Non l'ho ancora studiato, ma ho dato una lettura al paragrafo che lo tratta e ho capito che in un certo senso è il teorema "capitale" (da cui poi discendono gli altri, tipo la convergenza dominata) che risolve in un certo senso la questione del passaggio al limite sotto il segno di integrale (questione che, a quanto ne so, è centrale nella trattazione della misura di Lebesgue: voglio dire, uno dei motivi per cui l'integrale di Lebesgue "vince" su quello di Riemann è proprio questa) *. Ho capito bene? Ma in che modo lo invochi qui?
Insomma, se hai voglia di spenderci due paroline, io sono felice e ti leggo stra-volentieri.
Comunque, per completezza, ecco i conti per calcolare la somma dell'ultima serie (cosicché risolviamo il problema in maniera totale).
Che dite? Ci siamo?
Un ringraziamento a tutti, anche a dajeforte per l'intervento.
__________________________
* Un'altra ragione per cui l'integrale di Lebesgue è importante dovrebbe essere la possibilità di costruire gli spazi $L^p$ e renderli, con opportune norme integrali, spazi di Banach.
Quello di Beppo Levi è uno dei teoremi più importanti per l'integrale di Lebesgue: esso ti assicura che il limite puntuale di una successione crescente di funzioni non negative Lebesgue-integrabili è misurabile ed il suo integrale (finito o meno) può essere calcolato passando al limite sotto il segno d'integrale.
Questa proprietà non è affatto vera per l'integrale di Riemann. Ad esempio, prendiamo un'enumerazione \((r_n)\) di \([0,1]\cap \mathbb{Q}\) e consideriamo la successione di funzioni di termine generale:
\[\delta_N(x):=\sum_{n=1}^N \chi_{\{r_n\}}(x) =\begin{cases} 1 &\text{, se } x=r_1,\ldots ,r_N \\ 0 &\text{, altrimenti;}\end{cases}\]
evidentemente ogni \(\delta_N\) è Riemann-integrabile con integrale nullo (infatti ogni \(\delta_N\) coincide con la funzione nulla tranne che in un numero finito di punti) e la successione \((\delta_N)\) è strettamente crescente (nel senso che per ogni \(N\in \mathbb{N}\) si ha \(\delta_N(x)< \delta_{N+1} (x)\) identicamente in \([0,1]\)); tuttavia il limite puntuale della successione \((\delta_N)\) (esistente in quanto la successione è crescente) è la malefica funzione di Dirichlet:
\[\delta (x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x\in [0,1]\cap \mathbb{Q} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\]
che, come universalmente noto, non è Riemann-integrabile. Quindi, in particolare, non è affatto vera l'uguaglianza:
\[\lim_N \int_0^1 \delta_N(x)\ \text{d}x =\int_0^1 \delta (x)\ \text{d} x\; ,\]
non perchè il limite a primo membro non esista ma perchè è il secondo membro a non aver senso.
Ciò evidenzia (come se ce ne fosse ancora bisogno!) quanto il passaggio al limite sotto il segno d'integrale per l'integrale di Riemann richieda condizioni forti sulla successione di funzioni (convergenza uniforme, ad esempio) e che appena si cerca di indebolirle ci si ritrova nei pasticci...
Questa proprietà non è affatto vera per l'integrale di Riemann. Ad esempio, prendiamo un'enumerazione \((r_n)\) di \([0,1]\cap \mathbb{Q}\) e consideriamo la successione di funzioni di termine generale:
\[\delta_N(x):=\sum_{n=1}^N \chi_{\{r_n\}}(x) =\begin{cases} 1 &\text{, se } x=r_1,\ldots ,r_N \\ 0 &\text{, altrimenti;}\end{cases}\]
evidentemente ogni \(\delta_N\) è Riemann-integrabile con integrale nullo (infatti ogni \(\delta_N\) coincide con la funzione nulla tranne che in un numero finito di punti) e la successione \((\delta_N)\) è strettamente crescente (nel senso che per ogni \(N\in \mathbb{N}\) si ha \(\delta_N(x)< \delta_{N+1} (x)\) identicamente in \([0,1]\)); tuttavia il limite puntuale della successione \((\delta_N)\) (esistente in quanto la successione è crescente) è la malefica funzione di Dirichlet:
\[\delta (x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x\in [0,1]\cap \mathbb{Q} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\]
che, come universalmente noto, non è Riemann-integrabile. Quindi, in particolare, non è affatto vera l'uguaglianza:
\[\lim_N \int_0^1 \delta_N(x)\ \text{d}x =\int_0^1 \delta (x)\ \text{d} x\; ,\]
non perchè il limite a primo membro non esista ma perchè è il secondo membro a non aver senso.
Ciò evidenzia (come se ce ne fosse ancora bisogno!
) quanto il passaggio al limite sotto il segno d'integrale per l'integrale di Riemann richieda condizioni forti sulla successione di funzioni (convergenza uniforme, ad esempio) e che appena si cerca di indebolirle ci si ritrova nei pasticci...
Si hai capito bene, nel senso che la convergenza monotona (ricordando delle parole di Luca Lussardi)è un teorema che sfrutta pesantemente la costruzione dell'integrale di Lebesgue (è un sup che approssima dal basso); mediante questo dimostri il Lemma di Fatou che poi si utilizza per dimostrare la convergenza dominata. (credo comunque si possano anche dimostrare senza l'utilizzo a cascata; comunque la Conv Mon viene proprio naturale dalla definizione di integrale di Lebesgue)
Qua è usato così:
$ s_N(x)=sum_{n=1}^N n chi_{I_n} + 0*A_N$ dove $I_n$ sono gli insiemi che ti ho elencato e $A_N$ è la parte che manca dell'intervallo $Omega=(0,1)$.
In questa maniera $s_N$ sono delle funzioni definite in $Omega$:
non negative (per ogni N e x)
$forall x in Omega$; $s_(N+1)(x)>=s_N(x)$ (questo perchè preso un x per valori piccoli di N, $s_N(x)=0$ poi ci sarà un N che lo "attiva" e lo mette sul suo gradino e rimane la all'aumentare di N)
$forall x in Omega$; $\lim_{N to infty}s_N(x)=g(x)$ (questo perchè stesso di sopra) (questa in realtà non è proprio una ipotesi del teorema perchè essendo la successione crescente punto per punto il limite esiste; quello che si fa qua è vedere che quel limite coincide con la funzione di cui dobbiamo calcolare l'integrae; inoltre il teorema afferma anche che la funzione limite è misurabile)
Dunque:
$int_{Omega}gdm\ =\ int_{Omega} \lim _{N to infty}s_N dm =$ (Convergenza monotona)
$= \lim _{N to infty} int_{Omega} s_N dm \ = \ \lim _{N to infty} sum_{n=1}^N n m(I_n)$ (questa ultima uguaglianza è la definizione di integrale di Lebesgue per funzioni semplici che è il punto di partenza per la costruzione dell'integrale stesso).
Spero di essere stato chiaro; comunque sentiamo anche gugo se vuole correggere qualcosa.
Ciao
Qua è usato così:
$ s_N(x)=sum_{n=1}^N n chi_{I_n} + 0*A_N$ dove $I_n$ sono gli insiemi che ti ho elencato e $A_N$ è la parte che manca dell'intervallo $Omega=(0,1)$.
In questa maniera $s_N$ sono delle funzioni definite in $Omega$:
non negative (per ogni N e x)
$forall x in Omega$; $s_(N+1)(x)>=s_N(x)$ (questo perchè preso un x per valori piccoli di N, $s_N(x)=0$ poi ci sarà un N che lo "attiva" e lo mette sul suo gradino e rimane la all'aumentare di N)
$forall x in Omega$; $\lim_{N to infty}s_N(x)=g(x)$ (questo perchè stesso di sopra) (questa in realtà non è proprio una ipotesi del teorema perchè essendo la successione crescente punto per punto il limite esiste; quello che si fa qua è vedere che quel limite coincide con la funzione di cui dobbiamo calcolare l'integrae; inoltre il teorema afferma anche che la funzione limite è misurabile)
Dunque:
$int_{Omega}gdm\ =\ int_{Omega} \lim _{N to infty}s_N dm =$ (Convergenza monotona)
$= \lim _{N to infty} int_{Omega} s_N dm \ = \ \lim _{N to infty} sum_{n=1}^N n m(I_n)$ (questa ultima uguaglianza è la definizione di integrale di Lebesgue per funzioni semplici che è il punto di partenza per la costruzione dell'integrale stesso).
Spero di essere stato chiaro; comunque sentiamo anche gugo se vuole correggere qualcosa.
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo