Integrale di Lebesgue
Ciao ragazzi,
in rete non si riesce a trovare molto....avrei bisogno che qualcuno (presa una funzione non integrabile secondo Riemann, ma integrabile secondo Lebesgue), mi faccia vedere passo passo come si svolge questo benedetto integrale...
grazie in anticipo!
in rete non si riesce a trovare molto....avrei bisogno che qualcuno (presa una funzione non integrabile secondo Riemann, ma integrabile secondo Lebesgue), mi faccia vedere passo passo come si svolge questo benedetto integrale...
grazie in anticipo!
Risposte
La funzione di Dirichlet non è Riemann-integrabile, ma è Lebesgue-integrabile su $[0,1]$.
Che essa non sia Riemann-integrabile è una questione banale (basta calcolare le somme integrali superiori ed inferiori e constatare che i due insiemi numerici descritti da tali somme non sono contigui... Proprio il classico esempio che si dà di funzione non integrabile in Analisi I); che essa sia Lebesgue-integrabile è evidente, giacché è la funzione caratteristica dell'insieme $QQ\cap [0,1]$ che è misurabile (ed ha misura nulla, poiché è unione numerabile d'insiemi di misura nulla).
Che essa non sia Riemann-integrabile è una questione banale (basta calcolare le somme integrali superiori ed inferiori e constatare che i due insiemi numerici descritti da tali somme non sono contigui... Proprio il classico esempio che si dà di funzione non integrabile in Analisi I); che essa sia Lebesgue-integrabile è evidente, giacché è la funzione caratteristica dell'insieme $QQ\cap [0,1]$ che è misurabile (ed ha misura nulla, poiché è unione numerabile d'insiemi di misura nulla).
Grazie "Gugo82", ma oltre alla funzione di Dirichlet, io avrei bisogno di vedere i passaggi di risoluzione di un'integrale....si ricava la primitiva come per gli integrali di Riemann??
Se postassi un esempio concreto sarebbe meglio.
Ah, ricorda che se una funzione limitata è integrabile secondo Riemann in un compatto, essa è integrabile pure secondo Lebesgue ed i due integrali coincidono; analogamente, se una funzione positiva è non limitata ma ha integrale improprio convergente allora è integrabile anche secondo Lebesgue (e l'integrale di Lebesgue coincide con l'integrale improprio)...
Poi ricorda i teoremi di convergenza monotona (Beppo Levi) e dominata (Lebesgue).
Questi quattro risultati consentono di calcolare l'integrale di Lebesgue in quasi tutti i casi d'interesse "pratico".
Ah, ricorda che se una funzione limitata è integrabile secondo Riemann in un compatto, essa è integrabile pure secondo Lebesgue ed i due integrali coincidono; analogamente, se una funzione positiva è non limitata ma ha integrale improprio convergente allora è integrabile anche secondo Lebesgue (e l'integrale di Lebesgue coincide con l'integrale improprio)...
Poi ricorda i teoremi di convergenza monotona (Beppo Levi) e dominata (Lebesgue).
Questi quattro risultati consentono di calcolare l'integrale di Lebesgue in quasi tutti i casi d'interesse "pratico".
Già che ci siamo diamo il Teorema completo: $f : [a,b] \to \RR$ limitata, con $[a,b]$ limitato, è integrabile secondo Riemann se e solo se il suo insieme di discontinuità è Lebesgue trascurabile; in tal caso integrale di Riemann e integrale di Lebesgue coincidono.
Ragazzi, grazie ad entrambi, ma in pratica, se una funzione NON è Riemann-integrabile, come si calcola la primitiva usando l'integrale di Lebesgue?
Armandovi di santa pazienza, non avreste un esempio svolto, tratto da qualche vostro libro su cui avete studiato, da postarmi qui? il mio problema è proprio quello....non trovo in rete neanche un esercizio svolto e lo avrei bisogno per afferrare meglio la teoria...
Armandovi di santa pazienza, non avreste un esempio svolto, tratto da qualche vostro libro su cui avete studiato, da postarmi qui? il mio problema è proprio quello....non trovo in rete neanche un esercizio svolto e lo avrei bisogno per afferrare meglio la teoria...
Per iniziare ad esempio ci potreste raccontare come si ricava l'integrale di lebesgue della funzione di dirichlet? (dico ci potreste perché interessa molto anche a me, almeno per curiosità)
Essenzialmente, il problema di "come calcolare una primitiva data una certa integranda" non è dotato di vera e propria consistenza: l'integrale di Lebesgue è nato come "risposta" a vari problemi nel campo dell'Analisi (connessi alla non integrabilità di funzioni caratteristiche, oppure alle serie di Fourier di certe funzioni, ecc...) e prende le mosse da una interpretazione di integrale che è altra dal "trovare funzioni la cui derivata sia la funzione di partenza": se lo noti (e notalo, non ti mancheranno di certo esempi ed esercizi) in molti calcoli di integrale di L. la domanda "qual è la primitiva di f(x)" è del tutto priva di senso: qual è la primitiva della caratteristica dei razionali? qual è la primitiva della funzione $f : \RR \to \RR$ definita da
$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}(1-sgn(x-[x]))+e^{-nx})\chi_{[0,n]}(x) $?
Eppure esse sono lecitamente integrabili alla Lebesgue...
Ti accorgerai allora facilmente che i problemi, nell'integrazione alla L., sono altri che non questi. L'abitudine, invero abbastanza malsana, a considerare una primitiva come "qualcosa di scrivibile esplicitamente" porta a queste fastidiose confusioni: non c'è, a livello prettamente teorico, alcuna differenza tra la funzione
$f(x)=\int_0^x t dt$
e la funzione
$g(x)= \int_1^x \frac{1}{t}d t$
o la funzione
$h(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt $
delle prime due disponiamo di una "scrittura alternativa" che ci permette di chiamarle parabola o logaritmo: ma il processo mentale con cui ciò avviene è del tutto analogo a quello che ci porta a definire $h(x)$ come il "seno integrale" di $x$: è la ricorrenza, l'abitudine a usare lo strumento, che crea la notazione.
$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}(1-sgn(x-[x]))+e^{-nx})\chi_{[0,n]}(x) $?
Eppure esse sono lecitamente integrabili alla Lebesgue...
Ti accorgerai allora facilmente che i problemi, nell'integrazione alla L., sono altri che non questi. L'abitudine, invero abbastanza malsana, a considerare una primitiva come "qualcosa di scrivibile esplicitamente" porta a queste fastidiose confusioni: non c'è, a livello prettamente teorico, alcuna differenza tra la funzione
$f(x)=\int_0^x t dt$
e la funzione
$g(x)= \int_1^x \frac{1}{t}d t$
o la funzione
$h(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt $
delle prime due disponiamo di una "scrittura alternativa" che ci permette di chiamarle parabola o logaritmo: ma il processo mentale con cui ciò avviene è del tutto analogo a quello che ci porta a definire $h(x)$ come il "seno integrale" di $x$: è la ricorrenza, l'abitudine a usare lo strumento, che crea la notazione.
Ciao "Killing_buddha", prima di tutto grazie per la risposta...
purtroppo gli esempi e gli esercizi svolti, non li ho...ho provato a cercare in rete, ma di esercizi svolti non ne ho trovati....io non sono uno studente universitario, sono solo un semplice appassionato autodidatta e non è per pigrizia che chiedo questo, ma proprio per mancanza di mezzi!!!
Mi saresti di grandissimo aiuto, ma ovviamente non sei tenuto a farlo, se mi postassi un esercizio risolto...la parte teorica l'ho studiata, ma mi serve almeno un esercizio in aiuto...
"killing_buddha":
se lo noti (e notalo, non ti mancheranno di certo esempi ed esercizi).
purtroppo gli esempi e gli esercizi svolti, non li ho...ho provato a cercare in rete, ma di esercizi svolti non ne ho trovati....io non sono uno studente universitario, sono solo un semplice appassionato autodidatta e non è per pigrizia che chiedo questo, ma proprio per mancanza di mezzi!!!
Mi saresti di grandissimo aiuto, ma ovviamente non sei tenuto a farlo, se mi postassi un esercizio risolto...la parte teorica l'ho studiata, ma mi serve almeno un esercizio in aiuto...
Ciò che è essenziale è capire quella differenza che ho cercato di tracciare poco sopra. La rete offre un sacco di luoghi dove trovare esercizi risolti o meno. Ad esempio puoi vedere qui
http://www.math.unipd.it/~parsifal/Anal ... matica.pdf
c'è un intero capitolo dedicato all'argomento, e senz'altro la dispensa brilla per chiarezza e comprensibilità.
Buona lettura.
http://www.math.unipd.it/~parsifal/Anal ... matica.pdf
c'è un intero capitolo dedicato all'argomento, e senz'altro la dispensa brilla per chiarezza e comprensibilità.
Buona lettura.
Ok "killing_buddha", grazie....
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