Integrale di Lebesgue
Ciao a tutti, ho un (moltissimi 
) problema con l'integrale di Lebesgue.
Ho questo esercizio
Determinare il carattere della seguente serie numerica
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \int_1^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} dx \)
Per prima cosa ho posto \(\displaystyle g_n(x)=\frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} \) successione di funzioni misurabili (?) non negative quasi ovunque; allora posso passare al limite sotto il segno di integrale e trovare che
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} = -1 + \sum_{n=0}^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} = -1+1+e^{-x^2} = e^{-x^2} \)
Pertanto
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \int_1^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} dx = \int_1^∞ e^{-x^2} = ???? \)
Ho sbagliato qualcosa, perchè la serie deve divergere.
) problema con l'integrale di Lebesgue.Ho questo esercizio
Determinare il carattere della seguente serie numerica
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \int_1^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} dx \)
Per prima cosa ho posto \(\displaystyle g_n(x)=\frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} \) successione di funzioni misurabili (?) non negative quasi ovunque; allora posso passare al limite sotto il segno di integrale e trovare che
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} = -1 + \sum_{n=0}^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} = -1+1+e^{-x^2} = e^{-x^2} \)
Pertanto
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \int_1^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} dx = \int_1^∞ e^{-x^2} = ???? \)
Ho sbagliato qualcosa, perchè la serie deve divergere.
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