Integrale di $ int root()(a^2x^2+b^2)dx $

[trustedin]

Buonasera e grazie in anticipo. Io ho:
$ int root()(a^2x^2+b^2)dx $
Ed ho operato una prima sostituzione
$ { ( ax=y ),( x=y/a ),( dx=1/ady ),( 1/aint root()(y^2+b^2) dy ):} $
questo l'ho integrato per parti:
$ { ( f(y)=root()(y^2+b^2) ),( f'(y)=y/root()(y^2+b^2) ),( g(y)=y ),( g'(y)=1),(int root()(y^2+b^2) dy =yroot()(y^2+b^2)-inty^2/(root()(y^2+b^2))dy ):} $
Per cui ottengo:
$ 1/a(yroot()(y^2+b^2)-inty^2/(root()(y^2+b^2))dy) $
Nell'integrale aggiungo e tolgo un $ b^2 $ al numeratore, spezzo e semplifico:
$ 1/a(yroot()(y^2+b^2)-int(y^2+b^2-b^2)/(root()(y^2+b^2))dy) $
$ 1/a(yroot()(y^2+b^2)-(int(y^2+b^2)/(root()(y^2+b^2))dy-int(b^2)/(root()(y^2+b^2))dy)) $
$ 1/a(yroot()(y^2+b^2)-introot()(y^2+b^2)dy+b^2int(1)/(root()(y^2+b^2))dy) $
Mi rendo conto che posso scrivere:
$ 1/a(introot()(y^2+b^2)dy=yroot()(y^2+b^2)-introot()(y^2+b^2)dy+b^2int(1)/(root()(y^2+b^2))dy) $
$ 1/a(2introot()(y^2+b^2)dy=yroot()(y^2+b^2)+b^2int(1)/(root()(y^2+b^2))dy) $
$ 1/a(introot()(y^2+b^2)dy=1/2(yroot()(y^2+b^2)+b^2int(1)/(root()(y^2+b^2))dy)) $
$ 1/a(1/2(yroot()(y^2+b^2)+b^2int(1)/(root()(y^2+b^2))dy)) $
mi occupo adesso del solo integrale e moltiplico per un $ b^2/b^2 $ sotto radice ed opero le semplificazioni:
$ b^2int(1)/(root()(b^2(y^2/b^2+b^2/b^2)))dy $
$ b^2int(1)/(broot()(y^2/b^2+1))dy $
$ bint(1)/(root()(y^2/b^2+1))dy $
Opero un'altra sostituzione:
$ { ( y^2/b^2=tan^2Theta ),( y=btanTheta ),( dy=bsec^2Theta ),( b^2int1/(root () (tan^2Theta+1))sec^2Theta dTheta ):} $
con qualche conticino:
$ b^2int1/(root () ((cos^2Theta +sin^2Theta)/cos^2Theta ))sec^2Theta dTheta $
$ b^2int1/(root () (sec^2Theta ))sec^2Theta dTheta $
$ b^2intsecTheta dTheta $
moltiplico e divido per $ (tanTheta +secTheta )/(tanTheta +secTheta ) $
$ b^2intsecTheta (tanTheta +secTheta )/(tanTheta +secTheta )dTheta $
$ b^2int(secTheta tanTheta +sec^2Theta )/(tanTheta +secTheta )dTheta $
Opero un'altra sostituzione:
$ { ( secTheta+tanTheta =z ),( dz=tanTheta secTheta +sec^2Theta ):} $
mi accorgo che posso scrivere:
$ b^2int(secTheta tanTheta +sec^2Theta )/(tanTheta +secTheta )dTheta=b^2int(dz)/z $
Finalmente un integrale semplice per cui:
$ b^2int(dz)/z=b^2ln| z| $
torniamo indietro con le sostituzioni:
$ { ( z=secTheta +tanTheta ),( b^2ln| z| =b^2ln| secTheta +tanTheta | ):} $
poi
$ { ( tan^2Theta=y^2/b^2 ),(Theta =arctan(y/b)),( b^2ln| secTheta +tanTheta |=b^2ln| sec(arctan(y/b))+tan(arctan(y/b))| ):} $
Facendo due conti:
$ b^2ln| root () (y^2/b^2+1)+y/b| $
noi ci siamo occupati fin qui di un integrale, di cui quella sopra è la primitiva, che faceva parte di un integrale diverso e di cui abbiamo già trovato altre parti di primitiva. Ricomponendo la primitiva sopra con quelle già trovate abbiamo che:
$ 1/a(1/2(yroot()(y^2+b^2)+b^2ln| root () (y^2/b^2+1)+y/b| )) $
Torniamo indietro con l'ultiama sostituzione che abbiamo fatto:
$ { ( y=ax),( 1/(2a)(yroot()(y^2+b^2)+b^2ln| root () (y^2/b^2+1)+y/b|) =1/(2a)(axroot()(a^2x^2+b^2)+b^2ln| root () ((a^2x^2)/b^2+1)+(ax)/b|) ):} $
Facciamo due conti:
$ (axroot()(a^2x^2+b^2))/(2a)+(b^2ln| root () ((a^2x^2)/b^2+1)+(ax)/b|)/(2a) $
$ (xroot()(a^2x^2+b^2))/(2)+(b^2ln| root () ((a^2x^2+b^2)/b^2)+(ax)/b|)/(2a) $
$ (xroot()(a^2x^2+b^2))/(2)+(b^2ln(| root () (a^2x^2+b^2)/b+(ax)/b|))/(2a) $
questo sarebbe il mio risultato:
peccato che il libro abbia:
$(xroot()(a^2x^2+b^2))/(2)+(b^2ln| root () (a^2x^2+b^2)+ax|)/(2a)$
Ho rifatto i calcoli mille volte, ma a me il “b” nel logaritmo non va via!
Qualcuno mi può gentilmente aiutare e dirmi dove sbaglio?
Di nuovo grazie

[anto_zoolander]

Non ho capito il motivo di questo immenso giro, però guarda che i calcoli sono corretti

[gugo82]

Per le proprietà del logaritmo la tua soluzione e quella del testo differiscono per una costante additiva... Quindi i risultati sono giusti.

Ad ogni buon conto, l'integrale è immediato: infatti, integrando per sostituzione (usando le funzioni iperboliche) e per parti, si ha:
\[
\begin{split}
\int \sqrt{b^2 + a^2 x^2}\ \text{d} x &= b\ \int \sqrt{1 + \left( \frac{a}{b}\ x\right)^2}\ \text{d} x\\
&\stackrel{y=\frac{a}{b} x}{=} \frac{b^2}{a}\ \int \sqrt{1 + y^2}\ \text{d} y\\
&\stackrel{y=\sinh u}{=} \frac{b^2}{a}\ \int \cosh^2 u\ \text{d} u\\
&= \frac{b^2}{2a}\ \left. \left( u + \sinh u\ \cosh u\right)\right|_{u= \operatorname{settsinh} (\frac{a}{b} x)}
\end{split}
\]
e, per terminare, bisogna ricordare le definizioni del seno ed il coseno iperbolico e che:
\[
\operatorname{settsinh} y := \log \left( y + \sqrt{1 + y^2}\right)\; .
\]
I conti sono un po' noiosetti, però...

[Berationalgetreal]

\[ \sqrt { a^2 x^2 + b^2} = b \frac{ \frac{a^2}{b^2}x^2 + 1 }{\sqrt{\frac{a^2}{b^2} x^2 + 1}} = {b} \left [ x \cdot \frac{d \left ( \sqrt{\frac{a^2}{b^2} x^2 + 1} \right )}{dx} + \frac{b}{a} \cdot \frac{ d \left (\text{ arsinh} \left ( \frac{a}{b} x \right ) \right )}{dx} \right ] \]

Procedendo per parti (basta una volta sola), alla fine viene fuori un integrale ciclico. Questo è il modo più semplice e veloce per risolvere quel integrale, a mio avviso.

[trustedin]

Volevo ringraziarvi tutti veramente di cuore