Integrale di Gauss da coordinate cartesiane a polari
Ciao volevo sapere le regole per cui l'angolo è da 0 a pigreco/2 nella conversione...dell'integrale da 0 a infinito
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss
se l'integrale fosse stato da -infinito ad infinito sarebbe stato da -pigreco/2 a pigreco/2.... per valori interi come calcolo gli estremi del "DETHETA" dell'angolo di integrazione?!
Grazie spero sia chiaro
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss
se l'integrale fosse stato da -infinito ad infinito sarebbe stato da -pigreco/2 a pigreco/2.... per valori interi come calcolo gli estremi del "DETHETA" dell'angolo di integrazione?!
Grazie spero sia chiaro
Risposte
Ciao e benvenuto! L'idea di quella dimostrazione è questa:
prendiamo in esame l'integrale $int_{-infty}^{+infty}e^(-x^2)$, che è uguale a $2int_{0}^{+infty}e^(-x^2)"dx"$ per questioni di simmetria della funzione da integrare. A questo punto l'idea è calcolare non questo integrale ma il suo quadrato, cioè di calcolare $int_{0}^{+infty}e^(-x^2)"dx"int_{0}^{+infty}e^(-x^2)"dx"=lim_{c\toinfty}(int_{0}^{c}e^(-x^2)"dx"int_{0}^{c}e^(-x^2)"dx")$. Questi ultimi due integrali in una variabile possono essere visti come il risultato di una formula di semplificazione di questo integrale doppio: $intint_Qe^(-x^2)e^(-y^2)"dxdy"$, dove $Q$ è il rettangolo $[0, c]times[0, c]$.
Per cui quell'intervallo $[0, pi/2]$ per la $theta$ salta fuori dalla conversione in coordinate polari di questo rettangolo $Q$.
prendiamo in esame l'integrale $int_{-infty}^{+infty}e^(-x^2)$, che è uguale a $2int_{0}^{+infty}e^(-x^2)"dx"$ per questioni di simmetria della funzione da integrare. A questo punto l'idea è calcolare non questo integrale ma il suo quadrato, cioè di calcolare $int_{0}^{+infty}e^(-x^2)"dx"int_{0}^{+infty}e^(-x^2)"dx"=lim_{c\toinfty}(int_{0}^{c}e^(-x^2)"dx"int_{0}^{c}e^(-x^2)"dx")$. Questi ultimi due integrali in una variabile possono essere visti come il risultato di una formula di semplificazione di questo integrale doppio: $intint_Qe^(-x^2)e^(-y^2)"dxdy"$, dove $Q$ è il rettangolo $[0, c]times[0, c]$.
Per cui quell'intervallo $[0, pi/2]$ per la $theta$ salta fuori dalla conversione in coordinate polari di questo rettangolo $Q$.
grazie della spiegazione ma il passaggio del rettangolo Q [0,C] x [0,C] in 0,pigreco/2 è determinato perchè sto integrando sul primo quadrante? e il quarto quadrante non lo si considera per il fatto che la funzione restituisce valo sempre positivi... no?
No, non c'entrano niente i valori presi dalla funzione da integrare, c'entra solo l'insieme su cui stai integrando. In questo caso si tratta di un rettangolo nel primo quadrante, ma questo -ripeto- non è dovuto al fatto che $e^(-x^2)$ è positiva, semmai deriva dal fatto che il primo integrale è da calcolare sull'intervallo $[0, c]$ (per poi mandare $c$ a infinito). Non so se riesco a spiegarmi.
vediamo se ho capit da 0 a c sarebbe da 0 a infinito sull'asse delle x per cui se non considero dove va la funzione ma gli estremi solamente dell'integrale e vedo il piano cartesiano come a nord 90° a sud 270° a ovest 180° ed a est 0° e 360° considerando che infinito è ad est mi muovo tra est e nord cioè 0° e 90° ora tu mi dici che non è per il segno.... di dove viene plottata la funzione e in effetti hai ragione... non ha senso... quindi
Forse ho capito dato che la x spazia tra 0 e infinito e la y tra 0 e infinito il rettangolo descritto come dominio di integrazione è il primo quadrante giusto?!
Ci sono altri integrali così simpatici da considerare... sto studiando comunicazioni elettriche per il Corso di Laurea in Ingegneria Informatica...e c sn cosine nuove... e integrali con trucchetti da risolvere che non conoscevo....
Grazie confermami l'esattezza del ragionamento o meno
Ah un ultima cosa l'integrale diventa doppio perchè moltiplichiamo l'integrale per se stesso ma ribattezziamo il secondo integrale con un altra variabile y... che però mi sposta il secondo intervallo di integrazione 0,C sull'asse y...questo perchè lo si può fare cioè spostarmi di asse da x a y? C'è una regola per altri integrali che si svolgono in questa maniera?
Forse ho capito dato che la x spazia tra 0 e infinito e la y tra 0 e infinito il rettangolo descritto come dominio di integrazione è il primo quadrante giusto?!
Ci sono altri integrali così simpatici da considerare... sto studiando comunicazioni elettriche per il Corso di Laurea in Ingegneria Informatica...e c sn cosine nuove... e integrali con trucchetti da risolvere che non conoscevo....
Grazie confermami l'esattezza del ragionamento o meno
Ah un ultima cosa l'integrale diventa doppio perchè moltiplichiamo l'integrale per se stesso ma ribattezziamo il secondo integrale con un altra variabile y... che però mi sposta il secondo intervallo di integrazione 0,C sull'asse y...questo perchè lo si può fare cioè spostarmi di asse da x a y? C'è una regola per altri integrali che si svolgono in questa maniera?
Si, il rettangolo su cui integri è il primo quadrante, esatto. Penso che ci siamo.
Volendo, la tecnica che abbiamo usato qui si può generalizzare, sì. Verrebbe una cosa del genere:
vogliamo calcolare $I=int_a^bf(x)"dx"$. Se conosciamo il segno di questo integrale, possiamo pure calcolare il quadrato e poi farne la radice quadrata (cosa che prima abbiamo potuto fare perché $e^(-x^2)$ è positiva). Il quadrato è $I^2=int_a^bf(x)"dx"int_a^bf(x)"dx"$. Chiamiamo $Q$ il rettangolo (che poi in realtà è un quadrato) $[a,b]times[a,b]$ e consideriamo $intint_Qf(x)f(y)"dxdy"$. Applicando a quest' ultimo integrale la formula di riduzione otteniamo $int_a^bf(x)"dx"int_a^bf(y)"dy"$ che è proprio $I^2$, cambia solamente il nome della seconda variabile di integrazione. Fine.
(Sono stato un po' prolisso, però questo è il ragionamento che seguirei io).
Comunque sia non so quanto possa essere utile questa cosa. In sostanza, per calcolare un integrale semplice lo trasformiamo in uno doppio, che è un oggetto più complicato. Nel caso di $e^(-x^2)$ funziona perché abbiamo un'espressione semplice per $e^(-x^2)e^(-y^2)$, ma in generale... mah.
"Sernio":
Ah un ultima cosa l'integrale diventa doppio perchè moltiplichiamo l'integrale per se stesso ma ribattezziamo il secondo integrale con un altra variabile y... che però mi sposta il secondo intervallo di integrazione 0,C sull'asse y...questo perchè lo si può fare cioè spostarmi di asse da x a y? C'è una regola per altri integrali che si svolgono in questa maniera?
Volendo, la tecnica che abbiamo usato qui si può generalizzare, sì. Verrebbe una cosa del genere:
vogliamo calcolare $I=int_a^bf(x)"dx"$. Se conosciamo il segno di questo integrale, possiamo pure calcolare il quadrato e poi farne la radice quadrata (cosa che prima abbiamo potuto fare perché $e^(-x^2)$ è positiva). Il quadrato è $I^2=int_a^bf(x)"dx"int_a^bf(x)"dx"$. Chiamiamo $Q$ il rettangolo (che poi in realtà è un quadrato) $[a,b]times[a,b]$ e consideriamo $intint_Qf(x)f(y)"dxdy"$. Applicando a quest' ultimo integrale la formula di riduzione otteniamo $int_a^bf(x)"dx"int_a^bf(y)"dy"$ che è proprio $I^2$, cambia solamente il nome della seconda variabile di integrazione. Fine.
(Sono stato un po' prolisso, però questo è il ragionamento che seguirei io).
Comunque sia non so quanto possa essere utile questa cosa. In sostanza, per calcolare un integrale semplice lo trasformiamo in uno doppio, che è un oggetto più complicato. Nel caso di $e^(-x^2)$ funziona perché abbiamo un'espressione semplice per $e^(-x^2)e^(-y^2)$, ma in generale... mah.
grazie sei stato gentilissimo e chiarissimo non prolisso meglio una parola in più che una in meno... un ultimissima cosa ma come fai ad inserire nei post formule matematiche tipo integrali etc...? così sarò più chiaro anch'io semmai dovesse essercene occasione..
GRAZIE MILLE
Ciao
GRAZIE MILLE
Ciao
Dai un'occhiata a questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
è spiegato in maniera molto chiara il sistema di scrittura delle formule in uso su questo forum. Si tratta di uno script che traduce il codice inserito tra i simboli del dollaro, ad esempio $int_a^bf(x)"dx"$ si scrive \$int_a^bf(x)"dx"\$. Comunque trovi tutto scritto lì. Ciao, alla prossima!
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
è spiegato in maniera molto chiara il sistema di scrittura delle formule in uso su questo forum. Si tratta di uno script che traduce il codice inserito tra i simboli del dollaro, ad esempio $int_a^bf(x)"dx"$ si scrive \$int_a^bf(x)"dx"\$. Comunque trovi tutto scritto lì. Ciao, alla prossima!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo