Integrale di Gauss
Ciao ragazzi! Sto cercando di risolvere un problema di fisica ma dal momento che il problema riguarda un integrale ho deciso di postare nella sezione di analisi! Spero di aver fatto la scelta giusta! 
OK allora il problema chiede di trovare il campo elettrico all interno di una superficie cilindrica indefinita con densità di carica interna $rho=rho_0(a-br)$ (con $r$= raggio)
Ok allora procedo utilizzando il teorema di Gauss quindi
$int E * eta * dSigma = 1/epsilon_0 int rho(r) * dV $
Ora il mio problema sta appunto nel trovare la carica interna $ int rho(r) *dV$ perchè questo risulta essere
$ rho_0 int (a-br) * pi * h * d^2 r$ e non so proprio come procedere per risolvere questo integrale...
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La soluzione sul libro dice che $(q(r))/h= 2pi rho_0 r^2 (a/2 - (br)/3 )$
OK allora il problema chiede di trovare il campo elettrico all interno di una superficie cilindrica indefinita con densità di carica interna $rho=rho_0(a-br)$ (con $r$= raggio)
Ok allora procedo utilizzando il teorema di Gauss quindi
$int E * eta * dSigma = 1/epsilon_0 int rho(r) * dV $
Ora il mio problema sta appunto nel trovare la carica interna $ int rho(r) *dV$ perchè questo risulta essere
$ rho_0 int (a-br) * pi * h * d^2 r$ e non so proprio come procedere per risolvere questo integrale...
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La soluzione sul libro dice che $(q(r))/h= 2pi rho_0 r^2 (a/2 - (br)/3 )$
Risposte
L'Energia è anche uguale al gradiente del potenziale che a sua volta è uguale a $1/(4*pi *epsilon) int rho d tau$
Sappiamo che $int rho d tau = Q $
Sappiamo che $int rho d tau = Q $
"Thyeme":
$ rho_0 int (a-br) * pi * h * d^2 r$ e non so proprio come procedere per risolvere questo integrale...
A parte che è un integrale nella sola variabile $r$ ma da dove ti esce quella roba lì dopo l'espressione di $\rho (r)$? Secondo me hai fatto qualche errore di calcolo.
EDIT: Prova a "costruire" l'elemento infinitesimo di volume $dV$ in coordinate cilindriche.
PS I metodi di risoluzione di integrali di questo tipo differiscono non di poco tra i matematici e i fisici
In questo caso (fisica) si ragiona a suon di $dx$ e $dy$ come se fossero caramelle ma la risoluzione matematicamente corretta è molto meno semplice e intuitiva 
è $dr^2$ non $d^2r$
"Emar":
[quote="Thyeme"]
$ rho_0 int (a-br) * pi * h * d^2 r$ e non so proprio come procedere per risolvere questo integrale...
A parte che è un integrale nella sola variabile $r$ ma da dove ti esce quella roba lì dopo l'espressione di $\rho (r)$? Secondo me hai fatto qualche errore di calcolo.[/quote]
Beh io ho pensato che l elemento di volume infinitesimo di un cilindro di altezza h sia $pi*h*dr*dr$.
"Sunny91":
è $dr^2$ non $d^2r$
In effetti ero un pò in dubbio su questo... però facendo il ragionamento appena sopra pensavo fosse corretto $d^2r$
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E' vero con $dr^2$ il calcolo torna... ora però non capisco come mai sia $dr^2$ e non $d^2r$ !
Non vi seguo...
Vedendola fisicamente il volumetto è $dV = r \ dr \ d\theta \ dh$.
Volendo essere più formali si ha:
\[\Phi (r,\theta,h) = \begin{cases} x(r,\theta,h) = r \ cos\theta \\ y(r,\theta,h) = r \ sin\theta \\ z(r,\theta,h) = h\end{cases}\]
E si ha: \[\text{det} (J_\Phi) = \left| \frac{\partial \Phi (r,\theta,h)}{\partial (r,\theta,h)} \right| = -r \]
e quindi: \[
\int_{V} \rho (r) \ |\text{det} (J_\Phi)| \ drd\theta dh = \int_{V} \rho (r) \ r \ drd\theta dh\]
Come fa ad uscirvi $dr^2$?!
Vedendola fisicamente il volumetto è $dV = r \ dr \ d\theta \ dh$.
Volendo essere più formali si ha:
\[\Phi (r,\theta,h) = \begin{cases} x(r,\theta,h) = r \ cos\theta \\ y(r,\theta,h) = r \ sin\theta \\ z(r,\theta,h) = h\end{cases}\]
E si ha: \[\text{det} (J_\Phi) = \left| \frac{\partial \Phi (r,\theta,h)}{\partial (r,\theta,h)} \right| = -r \]
e quindi: \[
\int_{V} \rho (r) \ |\text{det} (J_\Phi)| \ drd\theta dh = \int_{V} \rho (r) \ r \ drd\theta dh\]
Come fa ad uscirvi $dr^2$?!
Beh ma quello che hai scritto è esattamente l integrale che ho scritto prima con il $dr^2$
Infatti $r dr = 2 dr^2$ inoltre sai che $int_{0}^{2pi} d theta = 2pi$ e che $int_{0}^{h} dh = h$ quindi $\int_{V} \rho (r) \ r \ drd\theta dh\ = int_{V} rho(r) pi h dr^2$
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Forse quello che ho scritto pecca un pò nell uso dei $dx$, $dy$ da "fisici" come hai scritto prima però alla fine il risultato è quello!
Infatti $r dr = 2 dr^2$ inoltre sai che $int_{0}^{2pi} d theta = 2pi$ e che $int_{0}^{h} dh = h$ quindi $\int_{V} \rho (r) \ r \ drd\theta dh\ = int_{V} rho(r) pi h dr^2$
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Forse quello che ho scritto pecca un pò nell uso dei $dx$, $dy$ da "fisici" come hai scritto prima però alla fine il risultato è quello!
Pensavo di essere diventato scemo. Avevo inteso $(dr)^2$ e non $d(r^2)$ e non mi capacitavo di come potesse venire così
Scusatemi
Scusatemi
"Emar":
Pensavo di essere diventato scemo. Avevo inteso $(dr)^2$ e non $d(r^2)$ e non mi capacitavo di come potesse venire così
Scusatemi
All inizio infatti pensavo fosse corretto scrivere $(dr)^2$ nell integrale!
In effetti bisogna stare attenti perché tra $(dr)^2$,$d(r^2)$ e $d^2r = d(dr)$ è facile confondersi!
Saluti
Saluti
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