Integrale di funzioni trigonometriche fratte

[oslinux]

Ciao a tutti!
Sempre in preparazione dell'esame di analisi, avrei bisogno di un suggerimento per la risoluzione del seguente integrale:

\(\displaystyle
\int_{0}^{\pi/2}
\frac
{2sin(x)+cos(x)}
{cos(x)+1}
dx
\)

Ho pensato che probabilmente la strada giusta è la risoluzione per sostituzione, ma non mi viene in mente nulla che non crei un mostro... Mi date un aiutino?

[oslinux]

Dunque mi sono spinto un po' avanti ed ho tentato questo:

\(\displaystyle
\frac
{2sin(x)}
{cos(x)+1}
+
\frac
{cos(x)+1-1}
{cos(x)+1}
=
\frac
{2sin(x)}
{cos(x)+1}
-
\frac
{1}
{cos(x)+1}
\)

Ma non so quanto mi sono semplificato la vita, comunque la parte a destra mi ricorda qualcosa, è quasi una secante

Per la prima parte, forse ci sono, dunque:

\(\displaystyle
\int_{0}^{\pi/2}
\frac
{2sin(x)}
{cos(x)+1}
=
-2
\int_{0}^{\pi/2}
\frac
{-sin(x)}
{cos(x)+1}
\)

Quindi pongo:

\(\displaystyle
\\u=cos(x)+1
\\du=-sin(x)dx
\\0 -> 2
\\\pi/2 -> 1
\)

ed ottengo:
\(\displaystyle
-2
\int_{2}^{1}
\frac
{1}
{u}
du
=
\left [
-2ln(u)
\right ]_2^1
=
\left [
-2ln(cos(x)+1)
\right ]_2^1
\)

che è un po' problematico da calcolare, ma fattibile. E' Giusta questa strada? come procedo per il secondo integrato?

[Noisemaker]

In generale l'integrale
$$\int R\left(\sin x, \cos x\right)\,\,dx,
$$
con $R$ funzione razionale dei due argomenti $\sin x, \cos x,$ si riconduce ad integrali di funzioni razionali, con il seguente cambiamento di variabile, detto sostituzione goniometrica universale:
\begin{align*}
t&=\tan\frac{x}{2}\\
\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,\quad \cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2dt}{1+t^2}.
\end{align*}
Ad esempio, l'insieme delle primitive di:
\begin{align*}
\int \frac{2 \sin x+\cos x}{ \cos x+1}\,\,dx;
\end{align*}
utilizzando le sustituzioni sopra, diviene:
\begin{align*}
\int \frac{2 \sin x+\cos x}{ \cos x-+1}\,\,dx&=\int \frac{\frac{4t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}{ \frac{1-t^2}{1+t^2}+1}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{\frac{4t+1-t^2}{1+t^2} }{ \frac{1}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=2\int \frac{4t+1-t^2}{1+t^2}dt\\
&=8\int \frac{t }{1+t^2}dt+2\int \frac{1}{1+t^2}dt-2\int \frac{t^2}{1+t^2}dt\\
&...\\
&=4\ln(1+t^2)+4\arctan t-2t
\end{align*}
e tornando alla variabile $x$ si ottiene:
\begin{align*}
4\ln\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right)+2x-2\tan\frac{x}{2} .
\end{align*}

[chiaraotta1]

Però
\( \displaystyle \frac {2sin(x)} {cos(x)+1} + \frac {cos(x)+1-1} {cos(x)+1} = \frac {2sin(x)} {cos(x)+1} +1 - \frac {1} {cos(x)+1} \)