Integrale di funzioni dispari

[chess71]

Sia f: R->R una funzione dispari. Sia a > 0 fissato e poniamo
$I =\int_(-2a)^(2a)f(x)dx$
Allora I puo' non esistere.


Non comprendo quest'ultima affermazione sull'esistenza, la funzione è sempre definita.
A me sembrava che $I=0$ sempre, per la proprietà delle funzioni dispari definite su intervallo simmetrico (le due aree si annullano).
Qualcuno può farmi capire?

[Plepp]

Embè? Mi sembra la scoperta dell'acqua calda...Se $f$ non è integrabile (il chè non mi pare sia in alcun modo deducibile dalla proposizione) su $[-2a,2a]$, pari o dispari che sia, è chiaro che $I$ non esiste...Possiamo costruire un esempio partendo dalla celeberrima funzione di Dirichlet, che possiamo opportunamente ritoccare in questo modo:
\[\chi(x)=
\begin{cases}
0& \text{se } x\in \mathbb{Q}\\
1& \text{se } x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
\]
Come è noto, $\chi$ non è integrabile (secondo Riemann) "da nessuna parte" ; poniamo ora
\[\psi(x):=
\begin{cases}
\chi(x)& \text{se } x\geq 0\\
-\chi(x)& \text{se } x < 0
\end{cases}
\]
Bene. La nostra $\psi$ è una funzione dispari, come ci serviva, e anch'essa, evidentemente, non è integrabile su qualsiasi $[a,b]\subset RR$ (e di conseguenza su qualsiasi intervallo del tipo $[-2a,2a]$).

Ciao!
Giuseppe

[chess71]

Grazie Plepp.

Permettimi di rispolverare alcune proprietà di integrabilità:
-) se la funzione fosse stata continua e definita su R->R, non sarebbe stata assicurata l'integrabilità.
-) se la funzione fosse stata continua su intervallo chiuso e limitato, l'integrale sarebbe sempre esistito

corretto?