Integrale di funzioni contenenti radici di polinomi 2°grado
sono alle prese con il seguente integrale:
$ int sqrt(x^2-1)/x*dx $
Guardando alcuni esempi di esercizi svolti sul libro di testo e su alcuni appunti presi, per prima cosa devo porre $ x=coshy $ e quindi $ dx=sinhy*dy $ per cui l'integrale diventa : $ int sqrt(cosh^2y-1)/(coshy)*sinhy*dy $ ricordando che $ sqrt(cosh^2y-1)=sinhy $ posso scrivere $ int (sinh^2y)/(coshy)*dy $ a questo punto ho deciso di scomporre l'integrale per cui ricordando che $ sinh^2y=1-cosh^2y $ ottengo: $ int 1/(coshy)*dy- int coshy*dy $. Il secondo integrale è immediato e cioè : $ int coshy*dy= sinhy $ ma il primo non riesco a svilupparlo !! Il ragionamento che ho fatto è giusto??? Esiste una tabella completa con formule di integrazione ???? Se si mi dareste il link??? grazie mille
$ int sqrt(x^2-1)/x*dx $
Guardando alcuni esempi di esercizi svolti sul libro di testo e su alcuni appunti presi, per prima cosa devo porre $ x=coshy $ e quindi $ dx=sinhy*dy $ per cui l'integrale diventa : $ int sqrt(cosh^2y-1)/(coshy)*sinhy*dy $ ricordando che $ sqrt(cosh^2y-1)=sinhy $ posso scrivere $ int (sinh^2y)/(coshy)*dy $ a questo punto ho deciso di scomporre l'integrale per cui ricordando che $ sinh^2y=1-cosh^2y $ ottengo: $ int 1/(coshy)*dy- int coshy*dy $. Il secondo integrale è immediato e cioè : $ int coshy*dy= sinhy $ ma il primo non riesco a svilupparlo !! Il ragionamento che ho fatto è giusto??? Esiste una tabella completa con formule di integrazione ???? Se si mi dareste il link??? grazie mille
Risposte
attenzione che con le funzioni iperboliche $(sinhx)^2=(coshx)^2-1$
a parte quell'errore come si procede con l'integrazione???
Ciao
Se ho capito bene la tua difficoltà consiste nel calcolare l'integrale $ int 1/(coshy)*dy$, giusto?
Credo che basti esplicitare la funzione integranda: $ int 1/(coshy)*dy=int 2/(e^y+e^(-y))dy$. A questo punto fai la sostituzione $e^y=t$ e procedi facendo i conti che risultano piuttosto semplici. Fammi sapere.
Se ho capito bene la tua difficoltà consiste nel calcolare l'integrale $ int 1/(coshy)*dy$, giusto?
Credo che basti esplicitare la funzione integranda: $ int 1/(coshy)*dy=int 2/(e^y+e^(-y))dy$. A questo punto fai la sostituzione $e^y=t$ e procedi facendo i conti che risultano piuttosto semplici. Fammi sapere.
Secondo me ho sbagliato tutto il procedimento !! Ricominciamo dall'inizio !!
Per prima cosa non riesco a capire per quale motivo sul libro di testo e sugli appunti presi a lezione è necessario fare le seguenti sostituzioni :
1) $ sqrt(1+x^2) $ si pone $ x=sinht $
2) $ sqrt(1-x^2) $ si pone $ x=sint $
3) $ sqrt(x^2-1) $ si pone $ x=cosht $
Applicando il seguente metodo ottengo quindi l'integrale nella seguente forma :
$ int (sinhy)/(coshy)*sinh*dy=-log|coshy|*int sinhy*dy=-log|coshy|*coshy $ La mia $ y $ sarebbe $ y=arccoshy $ ma non credo sia questa la giusta strda per svolgere l'integrale perchè diventa troppo complesso !!! PEr cui cosa continuo a sbagliare????????????????'' Voi come lo risolvereste?????
Per prima cosa non riesco a capire per quale motivo sul libro di testo e sugli appunti presi a lezione è necessario fare le seguenti sostituzioni :
1) $ sqrt(1+x^2) $ si pone $ x=sinht $
2) $ sqrt(1-x^2) $ si pone $ x=sint $
3) $ sqrt(x^2-1) $ si pone $ x=cosht $
Applicando il seguente metodo ottengo quindi l'integrale nella seguente forma :
$ int (sinhy)/(coshy)*sinh*dy=-log|coshy|*int sinhy*dy=-log|coshy|*coshy $ La mia $ y $ sarebbe $ y=arccoshy $ ma non credo sia questa la giusta strda per svolgere l'integrale perchè diventa troppo complesso !!! PEr cui cosa continuo a sbagliare????????????????'' Voi come lo risolvereste?????
Aiuto !
Il cambio di variabile da te scelto va bene, però i conti poi mi sembra che si prolunghino un po' troppo.
Io ho fatto il cambio di variabili $t=sqrt(x^2-1)-x$. Anche qui poi i conti sono abbastanza lunghi, ma almeno si riesce a trovare una via d'uscita. Salvo costanti additive arbitrarie mi risulta $sqrt(x^2-1)-2arctg(sqrt(x^2-1)-x)$.
Io ho fatto il cambio di variabili $t=sqrt(x^2-1)-x$. Anche qui poi i conti sono abbastanza lunghi, ma almeno si riesce a trovare una via d'uscita. Salvo costanti additive arbitrarie mi risulta $sqrt(x^2-1)-2arctg(sqrt(x^2-1)-x)$.
il risultato è giusto !!! Ci devo sbattere un pò la testa !!
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