Integrale di funzione trigonometrica.

[Wallace89]

Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà con un integrale di una funzione razionale con un fastidiosissimo seno, qualcuno mi può aiutare a risolverlo? Non so da dove cominciare, ok a primo impatto sembra un arcotangente ma non capisco come arrivarci praticamente, spero che mi possiate dare una dritta, grazie mille

$\int_{0}^{pi/4}(1/(sin^2(x)+1))dx$

[Lo_zio_Tom]

l'integrale proposto è riconducibile ad un integrale immediato del tipo

$int1/(1+y^2)dy= arctan y +c$

in [strike]pochi[/strike] tre passaggi.

Però prima di immergerti nella soluzione del problema mi preme farti presente tutti gli articoli del regolamento che hai violato:

1.2 … Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.

3.3 Il titolo del messaggio deve indicare l'argomento da discutere; sono da evitare richiami generici del tipo "Aiutooo", "Sono disperato", “Leggete!!!” e frasi analoghe che non comunicano il vero oggetto della discussione.

3.5 Evitare titoli e testo in grassetto o in maiuscolo. Comunemente il grassetto e il maiuscolo sono l'equivalente di chi alza la voce o urla. In questo forum non sono gradite le persone che alzano la voce troppo spesso.

Quindi ti invito molto cortesemente a postare una bozza di soluzione, cancellare quel bruttissimo help in maiuscolo dal titolo e vedrai che verrai prontamente aiutato a risolvere il problema (ammesso che ve ne sia ancora bisogno, dopo il mio suggerimento).
buon lavoro

[Wallace89]

Ciao Tommik, innanzitutto chiedo perdono per il titolo e tutto il resto e ti ringrazio per avermelo fatto notare perchè sono nuovo in questo forum, sulla bozza di risoluzione sono pienamente d'accordo ma non sono riuscito proprio a iniziarlo, lo metto alla vostra attenzione proprio per capire come poter arrivare praticamente alla forma che mi hai fatto notare e che avevo già preso in considerazione

[orsoulx]

$ 1/(sin^2(x)+1)=1/(2sin^2(x)+cos^2(x))=1/(2tan^2(x)+1)*1/cos^2(x) $.....
Ciao

[Wallace89]

Ragazzi perdonatemi, ma non ho capito

[Wallace89]

Orsolux perdonami ma non ho ben capito come ti sei ricondotto a quella forma

[orsoulx]

$ 1/cos^2x $ è (a meno di una costante moltiplicativa) la derivata di $ sqrt 2 tan x $, quindi la sostituzione $ sqrt(2) tan x=t $ ti riconduce all'integrale che ti ha suggerito tommik.
Ciao
Ho letto dopo il tuo ultimo: $ 1=sin^2 x+ cos^2 x $ e poi ho 'raccolto' $ cos^2 x $.

[Wallace89]

quindi è necessaria esclusivamente questo "magheggio" per arrivare alla forma dell'arcotangente, una volta svolti i calcoli il risultato è $arctan(\sqrt{2}tan(x))+c$ ??

[Lo_zio_Tom]

$int_(0)^(pi/4)1/(sen^2(x)+1) dx$

divido sopra e sotto per $cos^2(x)$ ottenendo[nota]e ricordando che $d/(dx)tanx=1/(cos^2(x))=tan^2(x)+1$[/nota]:


$int_(0)^(pi/4)1/(tan^2(x)+1/(cos^2(x))) 1/(cos^2(x)) dx=int_(0)^(pi/4)1/(1+2tan^2(x))d(tanx)=$

$=int_(0)^(1)1/(1+2y^2) dy=1/sqrt(2)int_(0)^(1)1/(1+(sqrt(2)y)^2)d(sqrt(2)y)=(arctansqrt(2))/sqrt(2)$



cordiali saluti

[Wallace89]

Non mi sono particolarmente chiari i passaggi, come hai trasformato la frazione al denominatore in un'altra tangente al quadrato? e poi, come mai il risultato poi risulta arcotangente di radice di due?? non dovrebbe esserci la derivata al numeratore e il quadrato al denominatore per poter avere l'arcotangente?

[Lo_zio_Tom]

"Wallace89":Non mi sono particolarmente chiari i passaggi,....

scusa Wallace...è colpa mia. Visto il nick (89) pensavo tu avessi quasi 30 anni e che quindi fossi già esperto nella risoluzione di integrali. Se invece, come si evince dai tuoi commenti, sei ai primi approcci con questo importante operatore, allora le cose cambiano....non sono più 3 passaggi ma è opportuno spiegare per bene tutto il ragionamento sottostante ai "3 passaggi".

Il nostro integrale è il seguente:

$int_(0)^(pi/4)1/(sen^2 x+1)dx$

anche a prima vista vediamo subito una certa somiglianza con un integrale noto che, a meno di una costante additiva, vale:

$int1/(1+x^2)dx=arctan x$

per ricondurre il nostro integrale a questo immediato è necessario cambiare la variabile ma, se provassimo a fare

$sen x=y$ non arriveremmo a nulla in quanto ci troveremmo di mezzo un $cosx$ che invece nell'espressione integranda non abbiamo:

$senx=y rarr cosx dx=dy$

a questo punto, ciò che ci deve venire in mente subito, è passare per la tangente, in modo da smuovere un po' le acque e vedere cosa succede procedendo in questo modo. Ricordando che $tanx=(senx)/(cosx)$ dividiamo numeratore e denominatore per $cos^2x$ ottenendo così


$int_(0)^(pi/4)(1/cos^2x)/((sen^2 x+1)/(cos^2 x))dx=int_(0)^(pi/4)1/(((senx)/(cosx))^2+1/(cos^2x)) 1/(cos^2x) dx$

e quindi, ricordando anche che $1/(cos^2x)=tan^2x +1$ possiamo riscrivere il nostro integrale di partenza così:

$int_(0)^(pi/4)1/(tan^2x+tan^2x+1) \cdot1/(cos^2x) dx=int_(0)^(pi/4)1/(1+2tan^2x) \cdot1/(cos^2x) dx$

Per ricondurci al nostro integrale noto con primitiva arcotangente abbiamo ancora un piccolo problema: il coefficiente 2 davanti a $tan^2x$. Per superare questo ostacolo dobbiamo riscrivere l'integrale così:

$int_(0)^(pi/4)1/(1+(sqrt(2)tanx)^2) \cdot1/(cos^2x) dx$


A questo punto, con l'integrale di partenza così riscritto, è evidente quale sia la sostituzione di variabile da fare:

$sqrt(2) tanx=y$

Quindi la prima cosa da fare è cambiare gli estremi di integrazione passando da $x$ a $y$ e quindi

$x=0 rarr y=0$

$x=pi/4 rarr y=sqrt(2)$

ora ricalcoliamo il differenziale:

$sqrt(2)cdot 1/(cos^2x) dx=dy$

Come puoi notare, ci manca ancora un $sqrt(2)$ all'interno dell'integrale...e allora ce lo mettiamo!

$1/sqrt(2) int_(0)^(pi/4)1/(1+(sqrt(2)tanx)^2) \cdot sqrt(2)/(cos^2x) dx$

abbiamo finito! ora ci basta sostituire la variabile ottenendo

$1/sqrt(2)int_(0)^(sqrt(2))1/(1+y^2)dy=1/sqrt(2) [arctan y]_(0)^(sqrt(2))=1/sqrt(2) [arctan sqrt(2)-0]=(arctan sqrt(2))/sqrt(2)$

ora dovrebbe essere tutto davvero chiaro....


facci sapere

ciao

[Wallace89]

"tommik":[quote="Wallace89"]Non mi sono particolarmente chiari i passaggi,....

scusa Wallace...è colpa mia. Visto il nick (89) pensavo tu avessi quasi 30 anni e che quindi fossi già esperto nella risoluzione di integrali. Se invece, come si evince dai tuoi commenti, sei ai primi approcci con questo importante operatore, allora le cose cambiano....non sono più 3 passaggi ma è opportuno spiegare per bene tutto il ragionamento sottostante ai "3 passaggi".

Il nostro integrale è il seguente:

$int_(0)^(pi/4)1/(sen^2 x+1)dx$

anche a prima vista vediamo subito una certa somiglianza con un integrale noto che, a meno di una costante additiva, vale:

$int1/(1+x^2)dx=arctan x$

per ricondurre il nostro integrale a questo immediato è necessario cambiare la variabile ma, se provassimo a fare

$sen x=y$ non arriveremmo a nulla in quanto ci troveremmo di mezzo un $cosx$ che invece nell'espressione integranda non abbiamo:

$senx=y rarr cosx dx=dy$

a questo punto, ciò che ci deve venire in mente subito, è passare per la tangente, in modo da smuovere un po' le acque e vedere cosa succede procedendo in questo modo. Ricordando che $tanx=(senx)/(cosx)$ dividiamo numeratore e denominatore per $cos^2x$ ottenendo così


$int_(0)^(pi/4)(1/cos^2x)/((sen^2 x+1)/(cos^2 x))dx=int_(0)^(pi/4)1/(((senx)/(cosx))^2+1/(cos^2x)) 1/(cos^2x) dx$

e quindi, ricordando anche che $1/(cos^2x)=tan^2x +1$ possiamo riscrivere il nostro integrale di partenza così:

$int_(0)^(pi/4)1/(tan^2x+tan^2x+1) \cdot1/(cos^2x) dx=int_(0)^(pi/4)1/(1+2tan^2x) \cdot1/(cos^2x) dx$

Per ricondurci al nostro integrale noto con primitiva arcotangente abbiamo ancora un piccolo problema: il coefficiente 2 davanti a $tan^2x$. Per superare questo ostacolo dobbiamo riscrivere l'integrale così:

$int_(0)^(pi/4)1/(1+(sqrt(2)tanx)^2) \cdot1/(cos^2x) dx$


A questo punto, con l'integrale di partenza così riscritto, è evidente quale sia la sostituzione di variabile da fare:

$sqrt(2) tanx=y$

Quindi la prima cosa da fare è cambiare gli estremi di integrazione passando da $x$ a $y$ e quindi

$x=0 rarr y=0$

$x=pi/4 rarr y=sqrt(2)$

ora ricalcoliamo il differenziale:

$sqrt(2)cdot 1/(cos^2x) dx=dy$

Come puoi notare, ci manca ancora un $sqrt(2)$ all'interno dell'integrale...e allora ce lo mettiamo!

$1/sqrt(2) int_(0)^(pi/4)1/(1+(sqrt(2)tanx)^2) \cdot sqrt(2)/(cos^2x) dx$

abbiamo finito! ora ci basta sostituire la variabile ottenendo

$1/sqrt(2)int_(0)^(sqrt(2))1/(1+y^2)dy=1/sqrt(2) [arctan y]_(0)^(sqrt(2))=1/sqrt(2) [arctan sqrt(2)-0]=(arctan sqrt(2))/sqrt(2)$

ora dovrebbe essere tutto davvero chiaro....


facci sapere

ciao[/quote]





Ciao Tommik grazie infinite per la spiegazione chiara e precisa, no non ti sbagli ho 28 anni e sono parecchi anni che ho lasciato in stand-by l'università per poi riprendere, ma specialmente per la matematica è dura ( studio ingegneria biomedica ).
Wallace89