Integrale di funzione razionale fratta gr(N)>gr(D)

[angelo.digiacomantonio]

Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio che vede l'integrazione di una funzione razionale fratta di questo tipo: $int (x^3+3x^2)/(x^2+1) dx$; il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore e quindi si esegue la divisione fra polinomi che restituisce l'integrale $int x+3+(-x-3)/(x^2+1)dx$ che diviene $int xdx + int 3dx + int (-x-3)/(x^2+1)dx$; ora, risolvendo i due primi integrali immediati ho $x^2/2 +3x+int (-x-3)/(x^2+1)dx$ ed il mio problema sta in quest'ultimo integrale del quale non riesco a capire il procedimento di risoluzione. Nell'esercizio guida esso diviene $-1/2int (2xdx)/(x^2+1)-3intdx/(x^2+1)$

Come si perviene a quest'ultima trasformazione? Non sono proprio riuscito a capire...Grazie a tutti anticipatamente!

[_prime_number]

Ha semplicemente usato le seguenti 2 proprietà degli integrali:
$\int (f(x)+g(x)) dx=\int f(x) dx + \int g(x) dx$
$\int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx$ ($\lambda$ costante)
e la proprietà delle frazioni
$\frac{a+b}{c}= a/c + b/c$

Paola

[angelo.digiacomantonio]

quindi ha riscritto $int (-x-3)/(x^2+1)dx$ come $int -x/(x^2+1)-int3/(x^2+1)$, giusto?

[_prime_number]

Esatto. Poi ha portato fuori il primo meno e ha moltiplicato e diviso per $2$:
$\int -x/(x^2+1) dx = -\int x/(x^2+1)=-1/2 \int (2x)/(x^2+1)dx$
perché voleva avere la derivata di $x^2+1$ a numeratore. In questo modo può usare la regola:
$\int (f'(x))/(f(x)) dx = log f(x) +C$

Paola

[angelo.digiacomantonio]

Ah ecco ora è tutto molto più chiaro! ...$\int (f'(x))/(f(x)) dx = log f(x) +C$...era questa la regola che mi sfuggiva! ..Grazie Paola!