Integrale di funzione razionale fratta con denominatore a radici complesse
Buona sera,
come da titolo sono alle prese con un mostro di integrale (razionale fratto a radici complesse), del quale penso d'aver trovato la soluzione. Purtroppo GeoGebra non è d'accordo con me; ecco perché vorrei che qualcuno posasse l'occhio sul mio svolgimento per scoprire dove ho peccato.
La bestia è la seguente:
1)\(\displaystyle \int \frac{-x^2+3x+(x^2-4x+5)(-x^2+7x-10)}{x(x^2-4x+5)^2}dx \)
dividendo il denominatore e semplificando si ottiene:
2)\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx+\int \frac{-x^2+7-10}{(x^2-4x+5)x}dx \)
il secondo integrale non mi ha dato troppi problemi, quindi non ne riporterò lo svolgimento, per brevità e per destare l'attenzione sul primo integrale (se qualcuno fosse interessato anche al secondo lo posterò volentieri).
Con qualche passaggietto si può decomporre il primo addendo integrale di 2, nella somma di due integrali più semplici:
3)\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\int \frac{-x+3 -1+1 }{(x^2-4x+5)^2}dx =\int \frac{-x+2}{(x^2-4x+5)^2}dx+\int \frac{dx}{(x^2-4x+5)^2} \)
prendiamo il primo e svolgiamolo separatamente. Possiamo integrare il numeratore e portarlo dentro il differenziale, nel passaggio 3 ho scelto quella precisa decomposizione poiché ora ci permetterà di "creare" un differenziale uguale alla radice del denominatore. A questo punto l'integrazione diventa banale.
4)\(\displaystyle \int \frac{-x+2}{(x^2-4x+5)^2}dx = \int \frac{d(-\frac{x^2}{2}+2x)}{(x^2-4x+5)^2}=-\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2-4x+5)}{(x^2-4x+5)^2}=\frac{1}{2(x^2-4x+5)}+c \)
ora passiamo alla seconda parte di 3, per risolverlo mi sono servito della seguente relazione:
\(\displaystyle \int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)} \cdot \int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} \)
applicando la precedente ho ottenuto:
5)\(\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2-4x+5)^2}=\frac{x-2}{2(x^2-4x+5)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2-4x+5} \)
infine rimane da integrare solo l'ultima parte di 5.
6)\(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2-4x+5}=\arctan (x-2)+c \)
Riunendo il tutto:
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\frac{1}{2(x^2-4x+5)}+\frac{x-2}{2(x^2-4x+5)}+\frac{1}{2}\arctan (x-2)+c \)
Come ho già detto, GeoGebra non arriva allo stesso risultato. Io sono certo di 4 e 6, mentre ho qualche dubbio su 5. Per il resto non mi pare d'aver sbagliato nelle semplificazioni o nel riordinare, ma vabbé, domani lo riesaminerò a mente sgombra. Nel frattempo...
Ringrazio chiunque prenda visione, buona settimana a tutti.
Dante Cpp
come da titolo sono alle prese con un mostro di integrale (razionale fratto a radici complesse), del quale penso d'aver trovato la soluzione. Purtroppo GeoGebra non è d'accordo con me; ecco perché vorrei che qualcuno posasse l'occhio sul mio svolgimento per scoprire dove ho peccato.
La bestia è la seguente:
1)\(\displaystyle \int \frac{-x^2+3x+(x^2-4x+5)(-x^2+7x-10)}{x(x^2-4x+5)^2}dx \)
dividendo il denominatore e semplificando si ottiene:
2)\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx+\int \frac{-x^2+7-10}{(x^2-4x+5)x}dx \)
il secondo integrale non mi ha dato troppi problemi, quindi non ne riporterò lo svolgimento, per brevità e per destare l'attenzione sul primo integrale (se qualcuno fosse interessato anche al secondo lo posterò volentieri).
Con qualche passaggietto si può decomporre il primo addendo integrale di 2, nella somma di due integrali più semplici:
3)\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\int \frac{-x+3 -1+1 }{(x^2-4x+5)^2}dx =\int \frac{-x+2}{(x^2-4x+5)^2}dx+\int \frac{dx}{(x^2-4x+5)^2} \)
prendiamo il primo e svolgiamolo separatamente. Possiamo integrare il numeratore e portarlo dentro il differenziale, nel passaggio 3 ho scelto quella precisa decomposizione poiché ora ci permetterà di "creare" un differenziale uguale alla radice del denominatore. A questo punto l'integrazione diventa banale.
4)\(\displaystyle \int \frac{-x+2}{(x^2-4x+5)^2}dx = \int \frac{d(-\frac{x^2}{2}+2x)}{(x^2-4x+5)^2}=-\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2-4x+5)}{(x^2-4x+5)^2}=\frac{1}{2(x^2-4x+5)}+c \)
ora passiamo alla seconda parte di 3, per risolverlo mi sono servito della seguente relazione:
\(\displaystyle \int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)} \cdot \int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} \)
applicando la precedente ho ottenuto:
5)\(\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2-4x+5)^2}=\frac{x-2}{2(x^2-4x+5)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2-4x+5} \)
infine rimane da integrare solo l'ultima parte di 5.
6)\(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2-4x+5}=\arctan (x-2)+c \)
Riunendo il tutto:
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\frac{1}{2(x^2-4x+5)}+\frac{x-2}{2(x^2-4x+5)}+\frac{1}{2}\arctan (x-2)+c \)
Come ho già detto, GeoGebra non arriva allo stesso risultato. Io sono certo di 4 e 6, mentre ho qualche dubbio su 5. Per il resto non mi pare d'aver sbagliato nelle semplificazioni o nel riordinare, ma vabbé, domani lo riesaminerò a mente sgombra. Nel frattempo...
Ringrazio chiunque prenda visione, buona settimana a tutti.
Dante Cpp
Risposte
Ho provato a verificare la soluzione con un'altro software, che mi ha restituito una soluzione molto simile alla mia se non per un segno...
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\frac{x-1}{2(x^2-4x+5)}-\frac{1}{2}\arctan (x-2)+c \)
mentre la mia è:
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\frac{x-1}{2(x^2-4x+5)}+\frac{1}{2}\arctan (x-2)+c \)
Invece GeoGebra sputa fuori:
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx= \frac{4\arctan(x - 2) x^2 - 16\arctan (x - 2) x + 20\arctan(x - 2) + x^2 + 1}{8 (x^2 - 4x + 5)} +c \)
Se qualcuno ha consigli o è riuscito a risolvere l'integrale con metodi diversi dai miei, gradirei ugualmente!
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\frac{x-1}{2(x^2-4x+5)}-\frac{1}{2}\arctan (x-2)+c \)
mentre la mia è:
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx=\frac{x-1}{2(x^2-4x+5)}+\frac{1}{2}\arctan (x-2)+c \)
Invece GeoGebra sputa fuori:
\(\displaystyle \int \frac{-x+3}{(x^2-4x+5)^2}dx= \frac{4\arctan(x - 2) x^2 - 16\arctan (x - 2) x + 20\arctan(x - 2) + x^2 + 1}{8 (x^2 - 4x + 5)} +c \)
Se qualcuno ha consigli o è riuscito a risolvere l'integrale con metodi diversi dai miei, gradirei ugualmente!
Ciao che versione usi di GeoGebra? Provando a calcolare l'integrale di quella funzione razionale fratta sia utilizzando lo sviluppo in frazioni parziali sia direttamente con l'ultima versione di GeoGebra si ottiene il risultato corretto:
P.S. ho usato la versione GeoGebra 5.0.79.0-3D su Linux Mint 17.1.
P.S. ho usato la versione GeoGebra 5.0.79.0-3D su Linux Mint 17.1.
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