Integrale di funzione razionale fratta

[Benny24]

Come procedereste per calcolare $\int1/(x^2+1)^3dx$? Pensavo di utilizzare la scomposizione di Hermite ma non sono pervenuto ad alcun risultato. Forse è meglio provare per sostituzione?

[gugo82]

No, non si fa per sostituzione...

Somma e sottrai $x^2$ al numeratore e spezza la frazione: l'integrale diventa:

$\int 1/(x^2+1)^2 " d"x-\int x*x/(x^2+1)^3" d"x \quad$;

ora lascia stare il primo pezzo e concentrati sul secondo: esso si può integrare per parti con fattore finito $x$ e fattore differenziale $x/(x^2+1)$.
Fatto ciò ti troverai con un pezzo "integrato" e con un pezzo che si somma al primo addendo di (*); per integrare tale somma, procedi come hai fatto ora (somma e sottrai $x^2$, spezza, integra per parti, etc...).
Devi rifare il procedimento un paio di volte (questi integrali sono un po' laboriosi), però alla fine si risolve.


P.S.: Per esercizio:

Dimostrare che, per ogni $n\in NN$ con $n>=2$, posto:

$I_n:=\int 1/(x^2+1)^n" d"x \quad$,

si ha:

$I_n=(2n-3)/(2n-2) I_(n-1) +x/((2n-2)(x^2+1)^(n-1))\quad$ .

Suggerimento: usare il Principio di induzione.

[Benny24]

Grazie prima di tutto per la risposta.
Quanto alla dimostrazione:
sappiamo, per verifica diretta, che $I_(1):=\int 1/(x^2+1)dx=arctgx+C_1$ e $I_(2):=\int 1/(x^2+1)^2dx=(1/2)*arctgx+x/(2*(x^2+1))+C_2$ e ciò soddisfa la relazione da dimostrare. Vediamo ora se supposta l'ipotesi vera per $n$ allora essa valga per $n+1$. [to be continued]