Integrale di funzione razionale
Salve ragazzi,
quale formula si applica per risolvere l'integrale di una funzione del genere?
$ 1/(x^2-4x+6) $
il discriminante del polinomio è negativo, quindi il risultato di questo integrale deve essere una funzione primitiva arctg, ma non so quali calcoli si devono fare per arrivare a tale risultato, o perlomeno per definire y=F(X) di arctg y + k
quale formula si applica per risolvere l'integrale di una funzione del genere?
$ 1/(x^2-4x+6) $
il discriminante del polinomio è negativo, quindi il risultato di questo integrale deve essere una funzione primitiva arctg, ma non so quali calcoli si devono fare per arrivare a tale risultato, o perlomeno per definire y=F(X) di arctg y + k
Risposte
L'idea è quella di scrivere il denominatore come somma di due quadrati: l'uno contenente una funzione lineare di $x$, l'altro contenente solo una costante; in altre parole devi portarti in una situazione del genere:
$1/((ax+b)^2+c^2)$.
Fatto ciò, metti in evidenza un $c^2$ riconducendoti a:
$1/c^2*1/(((ax+b)/c)^2+1)$
e fai la sostituzione $y=(ax+b)/c$ che ti porta dritto dritto ad un'arcotangente.
Nel tuo caso, per fare il primo passo verso la somma di quadrati basta "completare il quadrato" ovvero notare che $x^2-4x+6=(x^2-4x+4)+2$... Ora lascio proseguire te.
$1/((ax+b)^2+c^2)$.
Fatto ciò, metti in evidenza un $c^2$ riconducendoti a:
$1/c^2*1/(((ax+b)/c)^2+1)$
e fai la sostituzione $y=(ax+b)/c$ che ti porta dritto dritto ad un'arcotangente.
Nel tuo caso, per fare il primo passo verso la somma di quadrati basta "completare il quadrato" ovvero notare che $x^2-4x+6=(x^2-4x+4)+2$... Ora lascio proseguire te.
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