Integrale di funzione razionale
Salve a tutti, ho un problema con la risoluzione di questo integrale: $ int (3x)/(x^3-1) dx $ . Scomponendo il denominatore ottengo $ int ((-x+1)/(x^2+x+1)+1/(x-1)) dx $, quindi arrivo a ottenere $ -1/2log(x^2+x+1)-int1/(x^2+x+1)dx $ e non so come proseguire.. Spero possiate aiutarmi, grazie per l'attenzione.
Risposte
Ti spiego in generale come procedere quando a denominatore hai un polinomio di secondo grado con discriminante negativo (come nel tuo caso). Indichiamo come polinomio $x^2+px+q$ (prendo il coefficiente di $x^2$ pari a 1 poiché, in generale, puoi raccogliere tale coefficiente se il polinomio è del tipo $ax^2+...$). Quello che devi fare è "completare il quadrato di binomio: cioè
$$x^2+px+q=x^2+2\cdot\frac{p}{2}\cdot x+q=$$
osservando che i primi due termini scritti così sono, rispettivamente, il quadrato del primo termine e il doppio prodotto dei due termini in un quadrato di binomio, ed essendo $p^2/4$ il secondo quadrato
$$=x^2+2\frac{p}{2} x+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\frac{4q-p^2}{4}$$
Osserva che $4q-p^2=-\Delta>0$ (il discriminante), pertanto poniamo per comodità $\frac{4q-p^2}{4}=\alpha^2>0$ e scrivere quindi
$$x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\alpha^2$$
A questo punto scriviamo l'integrale: abbiamo
$$\int\frac{1}{\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\alpha^2}\ dx=$$
usando la sostituzione $\alpha t=x+p/2$ da cui $dx=\alpha\ dt$
$$=\int\frac{1}{\alpha^2 t^2+\alpha^2}\ \alpha\ dt=\frac{1}{\alpha}\int\frac{1}{1+t^2}\ dt=\frac{1}{\alpha}\arctan t+c$$
Infine, sostituendo $t=\frac{2x+p}{2\alpha}$ e osservando che $\alpha={\sqrt{4q-p^2}}/2$, abbiamo
$$\int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\left(\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}\right)+c$$
Bada bene una cosa: sebbene questa sia una formula generale, piuttosto che tentare di ricordarla, è meglio capire come si usa, seguendo i vari passaggi che ti ho illustrato.
$$x^2+px+q=x^2+2\cdot\frac{p}{2}\cdot x+q=$$
osservando che i primi due termini scritti così sono, rispettivamente, il quadrato del primo termine e il doppio prodotto dei due termini in un quadrato di binomio, ed essendo $p^2/4$ il secondo quadrato
$$=x^2+2\frac{p}{2} x+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\frac{4q-p^2}{4}$$
Osserva che $4q-p^2=-\Delta>0$ (il discriminante), pertanto poniamo per comodità $\frac{4q-p^2}{4}=\alpha^2>0$ e scrivere quindi
$$x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\alpha^2$$
A questo punto scriviamo l'integrale: abbiamo
$$\int\frac{1}{\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\alpha^2}\ dx=$$
usando la sostituzione $\alpha t=x+p/2$ da cui $dx=\alpha\ dt$
$$=\int\frac{1}{\alpha^2 t^2+\alpha^2}\ \alpha\ dt=\frac{1}{\alpha}\int\frac{1}{1+t^2}\ dt=\frac{1}{\alpha}\arctan t+c$$
Infine, sostituendo $t=\frac{2x+p}{2\alpha}$ e osservando che $\alpha={\sqrt{4q-p^2}}/2$, abbiamo
$$\int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\left(\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}\right)+c$$
Bada bene una cosa: sebbene questa sia una formula generale, piuttosto che tentare di ricordarla, è meglio capire come si usa, seguendo i vari passaggi che ti ho illustrato.
Grazie mille per l'aiuto!
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