Integrale di funzione irrazionale

[livio93]

Ciao a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo integrale, non riesco a capire quale potrebbe essere una sostituzione
intelligente, quelle che ho provato non erano molto calzanti!
Confido in voi, grazie infinite in anticipo!
$ int_(0)^(2) 1/(1+(x^2+x+1/2)^(1/2) dx $

[ciampax]

Tu che tipo di sostituzione hai provato?

[livio93]

Allora, io ho provato una sostituzione che ho trovato sul mio libro, da usare in caso di a>0 e
delta dell'equazione sotto radice <0, ovvero: $ sqrt(ax^2+bx+c)=-sqrt(a)(at^2-bt+c)/(b-2at) $ , e $ dx=-2a(at^2-bt+c)/(b-2at)^2 dt $
ma non sono riuscito a venirne a capo.
In alternativa ho provato a raccogliere in qualche modo i termini sotto radice, ma comunque non sapevo in che
modo proseguire...non saprei proprio come fare!

[onlyReferee]

Ciao livio93!
La sostituzione che hai fatto è corretta. Alla fine ottieni l'integrale di una frazione il cui numeratore è "quasi" la derivata del denominatore (il termine noto presente a numeratore, ossia +1, è l'unico che crea problemi). Ora puoi procedere o aggiungendo e togliendo 1 al numeratore (e di conseguenza puoi scomporre l'integrale in due in cui nel primo avrai al numeratore esattamente la derivata del denominatore e nel secondo 1 diviso il denominatore). Applicando l'integrazione in fratti semplici ed il principio di identità dei polinomi dovresti riuscire a venirne fuori (forse la parte più ardua potrebbe essere scomporre il denominatore).

[livio93]

In effetti ho cercato di arrivare infondo con quella sostituzione e dovrebbe tornare, il problema è che mi intorto in quei maledetti sistemi dopo i fratti semplici che è una bellezza!
Grazie onlyReferee!