Integrale di funzione con due variabili
Sto svolgendo degli esercizi di Analisi L-B e mi trovo a dover calcolare gli integrali in due variabili definiti su un insieme A... Esempio:
$f(x,y) = x$ e $A={(x,y) : x^2 + y^2<= 5, y<=x^2 }
Io quando l'integrale è definito in più quadranti non riesco mai a farlo. Io procedo così. Disegno un diagramma cartesiano e rappresento le funzioni. Ho disegnato un cerchio con centro in 0 e raggio $sqrt{5}$, poi ho disegnato la parabola con concavità verso l'alto $y=x^2$... Mettendo a sistema le due funzioni trovo i punti di intersezione che poi sono anche limite per la y... Così definisco graficamente l'integrale... Poi devo procedere analiticamente, ma come già detto sbaglio sempre con gli integrali definiti in più quadranti... Faccio 2 errori minimo... Primo errore(che ormai ho preso come abitudine a ricontrollare) faccio l'integrale passando anche per lo zero, senza dividere l'integrale in due parti, cioè:
$\int_-sqrt(5)^sqrt(5) f$ = $\int_-sqrt(5)^0 f$ + $\int_0^sqrt(5) f$
Mi chiedo perchè ciò non è possibile... Io ho notato che viene sempre splittato, mentre io nei primi esercizi lo mettevo non splittato...
Il secondo errore è che io sbaglio sempre l'ordine di integrazione... Questo non so il perchè... In alcuni esercizi si capisce perchè una delle due variabili è definita numericamente mentre l'altra è funzione della prima... Ma nel caso in esempio, io non so che fare... Io avrei fatto :
$\int_-sqrt(5)^sqrt(5) (\int_0^-sqrt(5) f dy) dx$ + $\int_-sqrt(5)^0 (\int_0^-sqrt(5-x^2) f dy) dx$ + $\int_0^sqrt(5) (\int_0^sqrt(5-x^2) f dy) dx$
Il primo per rappresentare l'intervallo nel diagramma rappresentato da tutto ciò che sta sotto l'asse x ed il secondo per rappresentare ciò che sta sopra...
Come devo procedere correttamente???
$f(x,y) = x$ e $A={(x,y) : x^2 + y^2<= 5, y<=x^2 }
Io quando l'integrale è definito in più quadranti non riesco mai a farlo. Io procedo così. Disegno un diagramma cartesiano e rappresento le funzioni. Ho disegnato un cerchio con centro in 0 e raggio $sqrt{5}$, poi ho disegnato la parabola con concavità verso l'alto $y=x^2$... Mettendo a sistema le due funzioni trovo i punti di intersezione che poi sono anche limite per la y... Così definisco graficamente l'integrale... Poi devo procedere analiticamente, ma come già detto sbaglio sempre con gli integrali definiti in più quadranti... Faccio 2 errori minimo... Primo errore(che ormai ho preso come abitudine a ricontrollare) faccio l'integrale passando anche per lo zero, senza dividere l'integrale in due parti, cioè:
$\int_-sqrt(5)^sqrt(5) f$ = $\int_-sqrt(5)^0 f$ + $\int_0^sqrt(5) f$
Mi chiedo perchè ciò non è possibile... Io ho notato che viene sempre splittato, mentre io nei primi esercizi lo mettevo non splittato...
Il secondo errore è che io sbaglio sempre l'ordine di integrazione... Questo non so il perchè... In alcuni esercizi si capisce perchè una delle due variabili è definita numericamente mentre l'altra è funzione della prima... Ma nel caso in esempio, io non so che fare... Io avrei fatto :
$\int_-sqrt(5)^sqrt(5) (\int_0^-sqrt(5) f dy) dx$ + $\int_-sqrt(5)^0 (\int_0^-sqrt(5-x^2) f dy) dx$ + $\int_0^sqrt(5) (\int_0^sqrt(5-x^2) f dy) dx$
Il primo per rappresentare l'intervallo nel diagramma rappresentato da tutto ciò che sta sotto l'asse x ed il secondo per rappresentare ciò che sta sopra...
Come devo procedere correttamente???
Risposte
Per quanto riguarda l'ordine degli estremi di integrazione, questo dipende da come stai considerando il dominio, ovvero se è normale rispetto all'asse x o all'asse delle y.
Come faccio a scegliere se normale ad x o y??? Tu intendi di come lo divido in rettangolini???
Prova a dare un'occhiata http://it.wikipedia.org/wiki/Dominio_semplice#Domini_semplici_.28o_normali.29_nel_piano
Ma nel mio caso nessuna delle due ha un valore specifico, oppure entrambe lo hanno...
e quindi puoi farlo rispetto all'asse che più ti è comodo
Quindi in questo caso se risolvo integrando prima rispetto ad y e poi ad x mi sembra più veloce come sistema... Ma per il fatto degli integrali??? Come li ho definiti io è corretto??? Posso controllare i risultati con derive o mathematica???
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