Integrale di funzione a due variabili
Buonasera a tutti,
sto svolgendo un esercizio nel quale mi viene chiesto di risolvere un integrale doppio trovando gli estremi nel dominio che mi viene dato.La ricerca degli estremi l'ho fatta il problema sta nel risolvere tale integrale:
$(int_(1-1/sqrt(2))^(1+1/sqrt(2))) (int_(1-x)^(sqrt(2x-x^2))) 1/(x^2-2x+y^2-1)^4dydx$
Il problema sta nel risolvere l'integrale.
Ho provato a sdoppiare il denominatore con x come incognita però il resto è pura "nebbia".
Grazie in anticipo.
sto svolgendo un esercizio nel quale mi viene chiesto di risolvere un integrale doppio trovando gli estremi nel dominio che mi viene dato.La ricerca degli estremi l'ho fatta il problema sta nel risolvere tale integrale:
$(int_(1-1/sqrt(2))^(1+1/sqrt(2))) (int_(1-x)^(sqrt(2x-x^2))) 1/(x^2-2x+y^2-1)^4dydx$
Il problema sta nel risolvere l'integrale.
Ho provato a sdoppiare il denominatore con x come incognita però il resto è pura "nebbia".
Grazie in anticipo.
Risposte
scusami, ma l'espressione che hai scritto che significa?? non ho mai visto un integrale doppio scritto in quella forma, potresti inserire anche il dominio?
EDIT: provando a interpretare gli estremi che hai scritto, immaggino si tratti di una circonferenza che si interseca con una retta, immagino dunque che se passi alle cordinate polari tutto ti risulterà più semplice, ripeto sto interpretando potrebbe non essere corretto quindi, ma passando alle cordinate polari dovresti avere qualcosa del tipo:
$ int_(-pi/4)^(3pi/4) d theta int_(0)^(2cos theta)rhof(theta,rho)drho $
EDIT: provando a interpretare gli estremi che hai scritto, immaggino si tratti di una circonferenza che si interseca con una retta, immagino dunque che se passi alle cordinate polari tutto ti risulterà più semplice, ripeto sto interpretando potrebbe non essere corretto quindi, ma passando alle cordinate polari dovresti avere qualcosa del tipo:
$ int_(-pi/4)^(3pi/4) d theta int_(0)^(2cos theta)rhof(theta,rho)drho $
Hai ragione...
$D={(x,y)in R^(2)|x^2+y^2-2x<=0,x>=1-y}
int int_(D)^()1/(x^2+y^2-2x-1)^4 dx dy$
Allora andando a fare il disegno e dopo aver trovato il dominio ho preso in considerazione i punti d'intersezione tra la retta e la circonferenza e ho ottenuto due domini:
$1/2(2-sqrt(2))<=x<=1/2(2+sqrt(2)),1-x<=y<=sqrt(-(x-2)x)$
$1/2(2+sqrt(2))<=x<=2,-sqrt(-(x-2)x)<=y<=sqrt(-(x-2)x)$
Ora il problema è l'integrale.Come lo risolvo?
Scusami ancora.
$D={(x,y)in R^(2)|x^2+y^2-2x<=0,x>=1-y}
int int_(D)^()1/(x^2+y^2-2x-1)^4 dx dy$
Allora andando a fare il disegno e dopo aver trovato il dominio ho preso in considerazione i punti d'intersezione tra la retta e la circonferenza e ho ottenuto due domini:
$1/2(2-sqrt(2))<=x<=1/2(2+sqrt(2)),1-x<=y<=sqrt(-(x-2)x)$
$1/2(2+sqrt(2))<=x<=2,-sqrt(-(x-2)x)<=y<=sqrt(-(x-2)x)$
Ora il problema è l'integrale.Come lo risolvo?
Scusami ancora.
ti ripeto secondo me ti complichi la vita con quel dominio, passa in cordinate polari traslate ovvero imponi:
$ { ( x=rho(cos theta+1) ),( y=rho sintheta ):} $ a questo punto il dominio sarà:
$ { ( -pi/4<=theta<=(3pi)/4 ),( 0<=rho<=1 ):} $
con l'eccezione rispetto a ieri che ho spostato il centro della circonferenza in (0,0), in tal modo ti si semplificherà un bel pò di roba e ti uscirà fuori un integrale davvero banale.
$ { ( x=rho(cos theta+1) ),( y=rho sintheta ):} $ a questo punto il dominio sarà:
$ { ( -pi/4<=theta<=(3pi)/4 ),( 0<=rho<=1 ):} $
con l'eccezione rispetto a ieri che ho spostato il centro della circonferenza in (0,0), in tal modo ti si semplificherà un bel pò di roba e ti uscirà fuori un integrale davvero banale.
Quindi l'integrale diventa:
$int int_()^() rho/(rho^2-1)^4 drho dvartheta $
Ma c'è un criterio per porre$x=rho cos vartheta+1$?
$int int_()^() rho/(rho^2-1)^4 drho dvartheta $
Ma c'è un criterio per porre$x=rho cos vartheta+1$?
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