Integrale di Fourier e \(\int_{\mathbb{R}}\sin(Ax)/xd\mu_x\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Gli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin dimostrano (p. 415-416 qui) che se la funzione assolutamente sommabile soddisfa in ogni punto alla condizione di Dini (p. 403) allora si verifica l'uguaglianza\[f(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}d\lambda\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\lambda(t-x))dt.\]
Dato che sommabile mi sembra un termine più usato nell'integrazione secondo Lebesgue e che la condizione di Dini è trattata nell'ambito delle funzioni sommabili secondo Lebesgue, non avrei nessun motivo di dubitare che l'integrale doppio\(^1\) sia da intendersi secondo Lebesgue. Oltretutto si fa nella dimostrazione riferimento al teorema di Fubini, dimostrato nel testo per il caso dell'integrale di Lebesgue.
Senonché, a p. 416, si usa il fatto che \[\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(Ax)}{x}dx=1\] per $A>0$ e nell'espressione (8) compare \(\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{-f(x)\sin(At)}{t}dt\) al posto di \(-f(x)\), ma se l'integrale da considerare è quello di Lebesgue mi risulta, da quanto dice proprio il Kolmogorov-Fomin a p. 304, che \(\sin(Ax)/x\) non è integrabile secondo Lebesgue sulla retta perché \(\int_{-\infty}^\infty |\frac{\sin x}{x}|dx=\infty\), e perciò l'integrale di Lebesgue \(\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin(Ax)}{x}d\mu_x\) non esiste, e quindi non avrei la minima idea di che cosa possa significare che \(J(A)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x+z)-f(x)}{z}\text{sen} Az dz\).
Qualcuno ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!!!

\(^1\) È la prima volta che vedo una scrittura del genere, ma suppongo equivalga a \(\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\lambda(t-x))dt )d\lambda\).

[DavideGenova1]

Comincio a sospettare che \(J(A)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x+z)-f(x)}{z}\text{sen} Az dz\) sia una notazione "formale" per indicare ciò che appare dopo (omettendo di specificare quali integrali sono di Riemann e quali di Lebesgue), cioè che si intenda\[\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x+z)-f(x)}{z}\sin Az dz:=\]\[ :=\frac{1}{\pi}\int_{[-N,N]}\frac{f(x+z)-f(x)}{z}\sin Az d\mu_z+\frac{1}{\pi}\int_{|z|\geq N}\frac{f(x+z)}{z}\sin Az d\mu_z-\frac{f(x)}{\pi} \mathscr{R}\int_{|z|\geq N} \frac{\sin Az}{z} dz\]dove indico la misura \(\mu_z\) per gli integrali di Lebesgue e ho segnato con la \(\mathscr{R}\) l'integrale di Riemann per chiarezza.
[ot][/ot]

[DavideGenova1]

...tuttavia il testo ipotizza che $f$ è assolutamente sommabile su $\mathbb{R}$ e non vedo perché, se si intende $f\in L^1(\mathbb{R})$, si specifichi assolutamente, visto che una funzione misurabile è integrabile secondo Lebesgue su $\mathbb{R}$ se e solo se il suo valore assoluto è integrabile secondo Lebesgue su $\mathbb{R}$... Qualcuno conosce questo teorema e le ipotesi per cui solitamente se ne enuncia la validità?
Grazie di cuore a tutti!!!

[dissonance]

Davide, nessuno sta a farsi queste menate, integrale di Riemann, di Lebesgue... Uno usa il linguaggio un po' come crede, cercando di richiamare l'attenzione sui punti salienti.

Quella funzione non è assolutamente integrabile su tutta la linea, non importa se integri alla Riemann, alla Lebesgue o come vuoi tu. Invece di pensare a queste quisquilie filologiche, pensa ai problemi *veri* che questo fenomeno ti pone. Per dare un senso a quell'integrale devi specificare un metodo di sommazione, esattamente come si fa in Analisi 1 quando si studiano gli integrali impropri.

Comunque, chiudi quel libro. Non sei ancora abbastanza maturo per leggerlo.

Nota a margine: oggi la teoria d Fourier si suole sviluppare direttamente con gli esponenziali complessi, quell'"integrale di Fourier" con il coseno è una cosa che non si usa quasi per niente.

[DavideGenova1]

"dissonance":Davide, nessuno sta a farsi queste menate, integrale di Riemann, di Lebesgue... Uno usa il linguaggio un po' come crede, cercando di richiamare l'attenzione sui punti salienti.

Non sono certo di seguire: non è ovviamente lo stesso integrale e per essi valgono cose anche molto diverse... In particolare nell'espressione in fondo a p. 415 si cambia l'ordine di integrazione utilizzando il teorema di Fubini, cosa che non so neanche se si potrebbe fare per un integrale improprio di Riemann.
Dovendo scegliere propenderei per un integrale di Lebesgue perché la condizione di Dini non è stata neanche definita per integrali di Riemann, ma in questo testo non è difficile trovare ambiguità semantiche. Ho trovato anche questa definizione di assoluta integrabilità coincidente con l'integrabilità secondo Lebesgue. Mi confonde il fatto che il Kolmogorov-Fomin usa sempre, fino a questo punto, sommabilità e basta (che equivale nel significato, tenendo sempre presente che $f$ deve essere misurabile).

"dissonance":Quella funzione non è assolutamente integrabile su tutta la linea

Un momento, forse non mi sono fatto capire: parlavo di $f$ che lo è per ipotesi. Quanto a \(x\mapsto\sin(Ax)/x\), certo, non è assolutamente integrabile alla Riemann né alla Lebesgue, ma non è lei $f$.

"dissonance":Nota a margine: oggi la teoria d Fourier si suole sviluppare direttamente con gli esponenziali complessi

Sì, sì, è quello che fa immediatamente dopo.
Grazie ancora!!!