Integrale di flusso
mi aiutate a risolvere questo esercizio?
determinare il flusso del campo vettoriale
$ vec(f) (x,y,z)=(xy^2+z^3)veci+(x^2+1/3y^3)vecj +2(x^2z+1/3z^3+2)veck $
uscente dalla frontiera della calotta definita dalle relazioni
$x^2+y^2+z^2<=2, x^2+y^2-z^2>=0, y>=0, z>=0$
naturalmente per risolverlo ho applicato il teorema di Gauss. la divergenza del campo viene molto semplice ed è $div(vecf)=2(x^2+y^2+z^2)$ ho portato tutto in coordinate sferiche:
$ Phi :{ ( x=rsinthetacosphi ),( y=rsinthetasinphi ),( z=rcostheta ):}=> |J(Phi)|=r^2sintheta $
con i seguenti intervalli: $ rin[0,sqrt2];thetain[pi/4,pi/2];phiin[0,pi] $ e quindi svolgendo l'integrale mi viene $8/5pi$ quando invece il risultato sul libro è $8/5pi(sqrt2-1)$.
i passaggi che faccio per svolgere l'integrale sono questi:
$ int int int_Omega 2(x^2+y^2+z^2) dx dy dz =2int_0^pidphi*int_0^sqrt2r^4dr*int_(pi/4)^(pi/2)sintheta d theta= $
$ =2/5pi*[r^5]_0^sqrt2*[-costheta]_(pi/4)^(pi/2)=8/5pi $
c'è qualcosa che non va nel mio procedimento?
determinare il flusso del campo vettoriale
$ vec(f) (x,y,z)=(xy^2+z^3)veci+(x^2+1/3y^3)vecj +2(x^2z+1/3z^3+2)veck $
uscente dalla frontiera della calotta definita dalle relazioni
$x^2+y^2+z^2<=2, x^2+y^2-z^2>=0, y>=0, z>=0$
naturalmente per risolverlo ho applicato il teorema di Gauss. la divergenza del campo viene molto semplice ed è $div(vecf)=2(x^2+y^2+z^2)$ ho portato tutto in coordinate sferiche:
$ Phi :{ ( x=rsinthetacosphi ),( y=rsinthetasinphi ),( z=rcostheta ):}=> |J(Phi)|=r^2sintheta $
con i seguenti intervalli: $ rin[0,sqrt2];thetain[pi/4,pi/2];phiin[0,pi] $ e quindi svolgendo l'integrale mi viene $8/5pi$ quando invece il risultato sul libro è $8/5pi(sqrt2-1)$.
i passaggi che faccio per svolgere l'integrale sono questi:
$ int int int_Omega 2(x^2+y^2+z^2) dx dy dz =2int_0^pidphi*int_0^sqrt2r^4dr*int_(pi/4)^(pi/2)sintheta d theta= $
$ =2/5pi*[r^5]_0^sqrt2*[-costheta]_(pi/4)^(pi/2)=8/5pi $
c'è qualcosa che non va nel mio procedimento?
Risposte
si è vero verrebbe giusto ma la $theta$ non è compresa tra $0$ e $pi/4$. la disequazione del cono è $x^2+y^2-z^2>=0$ e avendo anche che $z>=0$ la z è compresa tra 0 e il cono, quindi $theta in [pi/4,pi/2]$. se però la disequazione fosse $x^2+y^2-z^2<=0=> theta in [0,pi/4]$ e verrebbe giusto. probabilmente allora c'è stato un errore di stampa. grazie mille per l'illuminazione!
e poi fanno uscire pazzi i poveri studenti... oltre al tempo che ci ho perso per farlo e rifarlo! 
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